第2章 第1节 函数的概念及表示（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　 1　了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2　在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3　了解简单的分段函数，并能简单应用. 知识梳理 1．函数的概念 (1)A，B是两个非空实数集，对于A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数． (2)x的取值范围A叫做函数的定义域． (3)函数值的集合叫做函数的值域． 值域是集合B的子集． 2．函数的三种常用表示法 解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数． 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 学霸笔记 1．函数的定义域和值域是非空数集． 2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题． 4．常见基本初等函数定义域的要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (5)y＝ax(a>0，且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z} . 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝1或y＝x0是同一个函数．(　×　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　×　) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.(　×　) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有1个交点．(　√　) 2．(必修第一册·P72T2改编)下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是(　C　) A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1 B．f(x)＝x2，g(x)＝()4 C．f(x)＝x2，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝ 3．函数y＝·的定义域是[2，＋∞)． 4．函数y＝x＋的值域是)． 5．(必修第一册·P68例6改编)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝4． 6．(必修第一册·P73T13改编)函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，当x∈(－1.5，1.5]时，函数f(x)的解析式是f(x)＝. 　求函数的定义域 自主练通 1．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是(0，＋∞)． 解析：要使函数有意义，需满足 即x＞0.所以函数的定义域为(0，＋∞)． 2．(2021·重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x－2)的定义域为(，1)． 解析：∵f(x)的定义域为(－1，0)，由－1＜2x－2＜0，解得＜x＜1.∴函数f(2x－2)的定义域为(，1)． 3．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]． 解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]． 4．记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B．若B⊆A，则实数a的取值范围为(－∞，－2]∪)． 解析：由已知得A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|(x－a－1)(x－2a)<0}，由a<1得a＋1>2a，∴B＝{x|2a<x<a＋1}．∵B⊆A，∴a＋1≤－1或2a≥1，∴a≤－2或≤a<1.∴a的取值范围为(－∞，－2)∪)． 方　法　规　律 1.具体函数的定义域问题 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可. 2.抽象函数的定义域问题 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 　求函数的解析式 讲练融通 (1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)； (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)． 解：(1)(方法一：待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a