10.2 两条异面直线所成的角(第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）

10.2 两条异面直线所成的角(第3课时）（作业） （夯实基础+能力提升） 【夯实基础】 一、单选题 1．（2021·上海·高二专题练习）在正方体中与成角的面对角线的条数是（       ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解析】找出与成的面对角线，分为两类，一类是与相交的，另一类是与异面的，将两类面对角线的条数相加即可得解. 【详解】如下图所示： 由图可知，和均为等边三角形， 与成且相交的面对角线有：、、、，共条； 由于，，，， 所以，与成且异面的对角线有：、、、，共条. 其中，面对角线、与垂直，. 综上所述，在正方体中与成角的面对角线的条数是. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，考查计算能力，属于基础题. 2．（2021·上海·高二专题练习）如图，在立方体中，为中点，则与所成的角为（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，根据异面直线所成角的定义，的大小即可所求，然后根据正方体的几何特征求解. 【详解】如图，连接，在正方体中， ， 所以是异面直线与所成的角， 设正方体边边为，则，，， 则，则，，由， 则，所以与所成的角为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，还考查了运算能力，属于容易题. 3．（2021·上海·高二专题练习）在正方体中，和所成角的大小是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形的判定与性质进行转化，得到为异面直线和所成角，进而在三角形中求解. 【详解】如图所示，连接，∵,,四边形为平行四边形，∴，∴为异面直线和所成角（或其补角），由于是等边三角形，∴， 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法，涉及正方体的性质，属基础题. 关键在于利用平行四边形的判定与性质进行转化，得到异面直线所成的角，进而在相应三角形中求解. 二、填空题 4．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）空间两条异面直线与所成的角的取值范围是______________. 【答案】 【分析】利用异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】由异面直线所成的角的定义可得： 过空间任意一点，分别作相应直线与的平行线与， 两条相交直线与所成的锐角或直角为异面直线与所成的角， 所以空间两条异面直线与所成角的取值范围是. 故答案为：. 5．（2021·上海浦东新·高二期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是___________. （1）直线与直线相交； （2）直线与直线平行； （3）直线与直线是异面直线； （4）直线与直线成角. 【答案】（3）（4） 【分析】还原正方体，结合图形即可判断（1）（2）（3），再连接，，则为异面直线与直线所成的角，根据三角形的性质即可求出异面直线所成角； 【详解】解：由正方体的平面展开图可得正方体， 可得与为异面直线，故（1）错误； 与为异面直线，故（2）错误； 直线与直线是异面直线，故（3）正确； 连接，，由正方体的性质可得，所以为异面直线与直线所成的角，因为为等边三角形，所以，即直线与直线所成角为，故（4）正确； 故答案为：（3）（4）． 6．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）在棱长为1的正方体中，异面直线与所成的角_____. 【答案】 【分析】连接，可证明，进而可得或其补角即为异面直线与所成的角，在中求即可求解. 【详解】 连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以或其补角即为异面直线与所成的角， 连接，由正方体的棱长为可得， 所以， 所以异面直线与所成的角为， 故答案为： 7．（2021·上海·闵行中学高二期中）已知，直线，直线且与是异面直线，则与所成角的大小是__________. 【答案】 【分析】由异面直线所成角的定义及范围即可得结果. 【详解】由直线，直线且与是异面直线， 可得为异面直线与所成的角或补角， 由于异面直线所成的角的范围是，所以异面直线与所成的角为， 故答案为. 【点睛】本题主要考查了等角定理的应用，异面直线所成的角，属于基础题. 8．（2021·上海·闵行中学高二期末）在长方体中，若，，则异面直线与所成角的大小为__________. 【答案】 【分析】由于∥，可得是异面直线与所成角，然后在中求解即可 【详解】解：连接， 因为∥，所以是异面直线与所成角， 在长方体中，，，则 ， 因为平面，平面， 所以， 在直角三角形中，， 因为，所以， 所以异面直线与所成角的大小为， 故答案为： 9．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）正方体中，､分别是棱､的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】 【分析】分别取的中点G，H，连接，易知，得到是异面直线与所成角，然后在中，利用余弦定