第11讲 圆与圆的位置关系-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第11讲 圆与圆的位置关系 考点分析 考点一：圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 ，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 考点二：圆与圆相交公共弦求法：两圆方程相减 题型目录 题型一：圆与圆的位置关系 题型二：圆与圆相交公共弦问题 题型三：两圆公切线问题 题型四: 有关圆的轨迹方程 题型五：与圆有关的最值 典型例题 题型一：圆与圆的位置关系 【例1】（2022·全国·高二课时练习）“a＝3”是“圆与圆相切”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解. 【详解】解：若圆与圆相切， 当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3； 当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1． 当时，圆与圆相切， 所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件． 当圆与圆相切时，不一定成立， 所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件． 所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件． 故选：A 【例2】（北京高二期末）已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ） A．外离 B．外切 C．内含 D．内切 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为 所以，所以两圆不可能内含，故选C 【例3】（山东聊城市·高二期末）已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆； 所以圆，，圆心，半径为 所以，由于两圆没有公共点，则或者，解得或者，故选C 【例4】（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（       ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得点轨迹，转化为有交点问题 【详解】 ，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而， 得． 故选：B 【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案． 【详解】由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线， 切点分别为A，B，使得，则， 在中，， 所以点 在圆上， 由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点. 又圆 M 的半径等于1，圆心坐标， ， ∴， ∴. 故选：D. 【题型专练】 1.（浙江高二期末）圆与圆的位置关系为（ ） A．内切 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为 所以，所以两圆相交，故选C 2.（2022·全国·高二课时练习）（多选）若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（       ） A．7 B． C．－2 D．1 【答案】AD 【分析】首先求出两圆的圆心和半径，然后由条件可得两圆相离或内含，由此可建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为两圆没有公共点，所以两圆相离或内含，所以或， 所以或，解得或或0＜a＜2． 故选：AD 3.（江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】B 【解析】圆，即，表示以为圆心，因为圆关于直线对称。所以圆心在直线上，即，解得，所以圆，，圆心，半径为 圆，，圆心，半径为 所以，所以两圆相外切，故选B 4.（2022·山东聊城·二模）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（       ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】 【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数. 【详解】 设点，则， 且，由，得 ， 即， 故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个. 故选：B. 5．（全国高二（文））已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆；因为圆关于直线对称。所以圆心在直线