第09讲 圆的方程-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第9讲 圆的方程 考点分析 考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 考点二：圆的标准方程 设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为： 考点三：圆的一般方程 圆的一般方程为，圆心坐标：，半径： 注意：①的系数相同，方程中无项 ②对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③二元二次方程，表示圆的充要条件是 考点四：以 为直径端点的圆的方程为 考点五： 阿波罗尼斯圆 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 题型目录 题型一：圆的标准方程 题型二：圆的一般方程 题型三：由圆的定义及方程求参数 题型四：阿波罗尼斯圆（阿氏圆） 题型五：二次函数与圆的交汇问题 典型例题 题型一：圆的标准方程 【例1】（浙江高二期末）圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3 C． D． 【答案】D 【解析】根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D. 【例2】（2022·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接写出标准方程，即可得到答案. 【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为. 故选：B 【例3】（2020·北京十五中高二期中）经过三个点的圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解. 【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上， ， 经过三点圆的半径为， 圆心坐标为的中点，即， 圆的标准方程为. 故选：C. 【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（       ） A． B．9 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 【例5】（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（       ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 【例6】（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______． 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆过点，且圆心在直线上， 则有，解得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：. 【例7】（2021·福建宁德·高二期中）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（       ）米.（注意：≈） A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 【答案】A 【解析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0). 可设圆拱所在圆的方程为,由题意可得： 解得： . 所以所求圆的方程为. 将x=-30代入圆方程,得: , 因为y>0,所以. 故选：A. 【题型专练】 1．（2022·广西·高二学业考试）已知圆的方程为x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（        ） A．2 B．3 C．π D．4π 【答案】D 【分析】根据圆的半径求得圆的面积. 【详解】圆的半径为，所以面积为. 故选：D 2.（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ，当且仅当，即时“=”， 所以的最小值为. 故选：B 3.（2022·江苏·高二）圆，则（       ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABC 【分析】由圆的方程可确定圆心，由圆心位置和直线是否过圆心可确定各个选项的正误. 【详解】对于A，由圆的方程知其圆心为，则圆关于点对称，A正确； 对于B，由A知其圆心在轴上，则圆关于轴对称，即关于对称，B正确； 对于C，过圆心，圆关于直线对称，C正确； 对于D，不过圆心，圆不关于直线对称，D错误. 故选：ABC. 4．（202