第08讲 对称问题-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第8讲 对称问题 考点分析 考点一：点关于点的对称问题 设点关于点的对称点为，则易知点为的中点 由中点坐标公式得 ，解得的坐标为 考点二：点关于直线的对称问题 设点关于直线对称的点为，则易知直线垂直于直线，且的中点在直线上所以，解出即可求得对成点坐标． 考点三：直线关于点的对称直线问题 法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 法二：设直线为ax+by+c=0，直线上一点为P(u, v)关于点(p, q)对称点P'坐标为(x, y)，则有x=(p+u)/2, y=(q+v)/2, 得u=2x-p, v=2y-q，代入直线方程得：a(2x-p)+b(2y-q)+c=0，即ax+by+(c-ap-bq)/2=0，这就是所求的对称直线的方程。 考点四：直线关于直线的对称直线问题 法一：特殊点法：在直线上取两点，利用点关于直线的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 法二：在所求直线上设任意一点，设此点关于直线的对称点为，利用点关于直线的对称点问题解出，带入直线即可 题型目录 题型一：点关于点对称问题 题型二：点关于直线对称问题 题型三：直线关于点对称问题 题型四：直线关于直线对称问题 典型例题 题型一：点关于点对称问题 【例1】（点关于点对称）（全国高二单元测试）若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________. 【答案】 【解析】求得， ∵点，关于直线l对称，∴直线l的斜率1， 直线l过AB的中点，∴直线l的方程为， 即.故答案为：. 【题型专练】 1.（全国高二课时练习）一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】根据题意：关于轴的对称点为 而反射光线直线又过∴其直线为：即：， 当时，，即点的坐标为，故答案为：. 题型二：点关于直线对称问题 【例1】（点关于线对称）（全国高二课时练习）点关于直线的对称点是______. 【答案】 【解析】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y） 则MN中点的坐标为（，），利用对称的性质得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0， 解得：x=2，y=﹣2，∴点N的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）． 【例2】（2022·全国·高二专题练习）入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是_____． 【答案】 【分析】在入射光线上取点，它关于直线的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线的交点坐标，由两点求斜率后得直线方程． 【详解】在入射光线上取点，则关于的对称点在反射光线上， 又由得， ， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故答案为：． 【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，∠的平分线所在直线方程为，则直线的方程为_____． 【答案】 【分析】由题意可知，点在角平分线上，可设点的坐标是，利用的中点在直线上，可解出点的坐标，再求出关于的对称点为，且在直线上，利用两点式方程可得答案． 【详解】由题意可知，点在角平分线上，可设点的坐标是， 则的中点，在直线上，， 解得：，故点． 设关于的对称点为，则有 ，， 即 则由在直线上，可得的方程为 ， 即，即， 故答案为：． 【题型专练】 1.（2022·全国·高二单元测试）点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果. 【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为， 则，解得， 所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为． 故答案为： 2.（2022·全国·高二专题练习）原点关于的对称点的坐标为_____． 【答案】 【分析】设所求对称点的坐标为，由两对称点连线与对称轴垂直，两对称点连线段中点在对称轴上列方程组，解之可得． 【详解】设原点关于的对称点的坐标为， 则，解得． 要求的点()． 故答案为：． 3．（全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________． 【答案】(－4，－1) 【解析】设对称点的坐标为，则，解得， 所以所求对称点的坐标为． 4.（2022·全国·高二课时练习）已知直线和点，． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大． 【答案】(1)，(2)． 【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标; （2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标. （1） 设A关于直线l的对称点为，则， 解得，故， 又∵P为直线l上的一点，则， 当且仅当B