第06讲 直线的方程-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第6讲 直线的方程 考点分析 考点一：直线的点斜式方程 设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程. 注意：当直线的斜率不存在时，其直线方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于，所以直线方程可以写为 考点二：直线的斜截式方程 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 考点三：直线的两点式方程 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. 注意：①当时，直线方程为 (或). ②当时，直线方程为 (或). 考点四：直线的截距式方程 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 注意：当直线在x轴上的截距、y轴上的截距都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 考点五：直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 注意：对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)， 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. 题型目录 题型一：求直线的方程 题型二：直线过定点问题 题型三：直线的图像问题 题型四：直线方程在几何中运用 题型五：直线中的最值问题 典型例题 题型一：求直线的方程 【例1】（2022·全国·高二课时练习）方程表示（       ） A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线 C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案. 【详解】为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点． 故选：C 【例2】（全国高二课时练习）写出满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，斜率是； （2）经过点，且与x轴垂直； （3）斜率是，在y轴上的截距是7； （4）经过，两点； （5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行； （6）在x轴、y轴上的截距分别是4，． 【答案】（1）（2）（3） （4）（5）；（6） 【解析】（1）经过点，斜率是；则直线方程为，即 （2）经过点，且与x轴垂直；则直线方程为 （3）斜率是，在y轴上的截距是7；则直线方程为，即 （4）经过，两点；则斜率，所以直线方程为，即 （5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；则直线方程为 （6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．则直线方程为，即 【例3】（福建）下面说法正确的是（ ）. A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．不经过原点的直线都可以用方程表示 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示 【答案】D 【解析】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错； 经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错； 当时，经过点的直线可以用方程即表示， 当时，经过点的直线可以用方程，即表示， 因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对； 故选：D 【例4】（2021·广东·南海中学高二多选题）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】解：若直线过原点，则直线的方程为， 将点代入得，所以直线方程为，即； 若直线不过原点，根据题意，设直线方程为， 将点代入得，故直线的方程为； 所以直线的方程为：或． 故选：AB． 【例5】（2022·内蒙古包头·高一期末）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解. 【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为， 因为直线过点，代入可得，即； 当所求直线过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，代入可得，即， 综上可得，所求直线的方程为或. 故选：B. 【例6】（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点且与直线平行的直线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设所求直线为，代入A点坐标，求得m值，即可得答案. 【详解】因为所求直线与直线l平行， 所以设所求直线方程为：， 又所求直线过点，代入可得，解得， 所以所求直线为，即. 故选：A 【例7】（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，