第04讲 空间向量的应用-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第4讲 空间向量的应用 考点分析 考点一：直线的方向向量  空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。 考点二：平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面的所有法向量都互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 考点三：平面的法向量的求法 第一步：写出平面内两个不平行的向量= (x1，y1，z1)， = (x2，y2，z2)， 第二步：设平面的法向量为，根据法向量与平面内直线垂直建立关于x、y、z的方程； 第三步：解方程组，取其中的一个解，即得法向量．（一般令一个值求出两外两个即可） 考点四：用空间向量判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为 ，． 1.若∥，即=λ，则a∥b． 2.若⊥，即· = 0，则a⊥b ②直线与平面的位置关系： 直线L的方向向量为，平面α的法向量为，且L⊥α． 1.若∥，即 =λ，则 L⊥ α 2.若⊥，即· = 0，则a ∥ α． ③平面与平面的位置关系：平面α的法向量为 ，平面β的法向量为． 1.若∥，即=λ，则α∥β 2.若⊥，即 ·= 0，则α⊥β 考点五：用空间向量方法求空间角 ①求异面直线所成的角 两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)． ②求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． ③二面角的求法 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角为的夹角或它们的补角， 考点六：用空间向量方法求点到平面的距离 A为平面α外一点(如图)， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH． 典型例题 题型一：平面的法向量判断及求法 【例1】（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图像，根据直棱柱侧棱垂直于底面即可求解． 【详解】如图， ∵、、均垂直于平面ABC，故选项D中可以作为平面ABC的法向量． 故选：D． 【例2】（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解. 【详解】是正方形，且， ， ， ，，，， ，， 又， ，， 平面的法向量为， 则，得，， 结合选项，可得， 故选：C. 【例3】（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（       ）． A．（1，，4） B．（，1，） C．（2，，1） D．（1，2，） 【答案】B 【解析】 【分析】 设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案． 【详解】 解：设正方体的棱长为2，则，， ∴， 设向量是平面的法向量， 则取，得， 则是平面的一个法向量， 结合其他选项，只需和共线即可， 检验可知，ACD选项均不与共线. 所以能作为平面的法向量只有选项B 故选：B． 【例4】（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为． 其中正确的个数为（       ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解. 【详解】解：设正方体的边长为1，则，，，，，， 对①：因为，所以直线的一个方向向量为正确； 对②：因为，所以直线的一个方向向量为不正确； 对③：因为平面，又，所以平面的一个法向量为不正确； 对④：因为，，，，， 所以平面的一个法向量为不正确. 故选：A. 【例5】（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出： （1）直线BC的一个方向向量___________； （2）点OD的一个方向向量___________； （3）平面BHD的一个法向量___________； （4）的重心坐标___________. 【答案】                    【分析】