第03讲 空间向量及其运算的坐标表示-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第3讲 空间向量及其运算的坐标表示 考点分析 考点一：空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 注：空间中一般建立右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 考点二：空间中点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 考点三：空间直角坐标系中对称问题 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 考点四：空间中向量的坐标运算及距离公式 ①空间中知道两点求向量：若，则 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②空间中知道两点求距离：若，则 考点五：空间两点中点坐标的运算 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 考点六：向量加减法、数乘、数量积的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; ④ 考点七：空间向量的模及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 ① ② 考点八：空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 典型例题 题型一：空间向量的坐标表示 【例1】（2022·江苏·高二课时练习）已知，，，若，则点B的坐标为（       ）． A．（－1，3，－3） B．（9，1，1） C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1） 【答案】B 【分析】由，设结合空间向量的坐标，得(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，即可求B的坐标. 【详解】设，由得：(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)， ∴,可得，所以点B的坐标为（9，1，1）. 故选：B 【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在空间直角坐标系中，求出点关于轴和轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可得解. 【详解】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点， 所以. 故选：A 【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知，，是空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设由得方程，即得解. 【详解】由题得点，设 所以， 所以点的坐标为. 故选：B 【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果. 【详解】 ∵在基底下的坐标为 ∴ 设在基底下的坐标为 则 对照系数，可得： 解得： ∴在基底下的坐标为 故选：C 【例5】（2022·福建三明·高二期末（多选题））已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（       ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B; 利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D. 【详解】 根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确， 故选：BCD 【例6】（2022·全国·高二课时练习）若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为平行四边形，得到，设，将向量用坐标表示后，代入上式即可求解. 【详解】为平行四边形，,设，则， ，解得. 故选：D. 【题型专练】 1．（2021·北京·人大附中高二期中）在空间直角坐标系中，已知，，点满足，则点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据可得点的坐标. 【详解】设，则， 由得即， 故选：C. 2．（2022·