第02讲 空间向量基本定理 -【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第2讲 空间向量基本定理 考点分析 考点一：空间向量基底的概念 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底. 考点二：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两相互垂直，且长度均为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.即 典型例题 题型一：基底的基本概念及辨析 【例1】（2022·全国·高二专题练习）已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论． 【详解】由题意和空间向量的共面定理， 结合向量（）+（）＝2， 得与是共面向量， 同理与是共面向量， 所以与不能与、构成空间的一个基底； 又与和不共面， 所以与、构成空间的一个基底． 故选：C． 【例2】（2022·全国·高二单元测试）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（       ） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 【答案】B 【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断 【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内， 即O，A，B，C四点不共面， 所以A、C、D选项说法正确，B错误． 故选：B 【例3】（2022·全国·高一）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案. 【详解】选项A：令，则，，A正确； 选项B：因为，所以不能构成基底； 选项C：因为，所以不能构成基底； 选项D：因为，所以不能构成基底． 故选：A. 【例4】（苏教版（2019）选修第二册限时训练第4练空间向量基本定理）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理，运用假设法进行求解即可. 【详解】 若，，共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得， 即．因为，，不共面，所以，，，解得，，，即当时，，此时不能作为基底，所以若能作为基底，则实数满足的条件是． 故选：B 【例5】（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由空间向量基底的定义即可得出答案. 【详解】 选项A：令，则，，A正确； 选项B：因为，所以不能构成基底； 选项C：因为，所以不能构成基底； 选项D：因为，所以不能构成基底． 故选：A. 【题型专练】 1．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】 【分析】 由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】 A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底； D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：C 2．（多选题）已知是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解. 【详解】 对于A，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底； 对于B，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底； 对于C，假设共面，则必有不全为0的实数，使得， 因不共面，则，即，与不全为0矛盾，因此，不共面，它们能构成一个基底； 对于D，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底， 所以不能构成一个基底的一组向量是ABD. 故选：ABD 3．（2021·全国·高二课时练习）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以M，A，B，C