3.2 椭圆的简单几何性质 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬3.2 椭圆的简单几何性质 知 识 题 型 类 型 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 重点、考点 点与椭圆的位置关系 判断点与椭圆的位置关系 重点、考点 直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系 重点、考点 椭圆的弦长 重点、考点 中点弦与点差法 点差法的应用与中点弦的轨迹方程 重点、考点 一．椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图示 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 二．点与椭圆的位置关系 点与椭圆的位置关系为： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆伤上 点在椭圆外 三．直线与椭圆的位置关系 判断方法（代数法） 相交 相切 相离 四．直线与椭圆相交 1.弦长公式 若直线与椭圆交于两点，则弦长. 2.点差法： 若直线与椭圆交于两点，弦的中点坐标为，则： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点差法结论 五．椭圆的焦半径 点在椭圆上，则： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图示 焦半径定义 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径 焦半径公式 ， ， 考点一 椭圆的简单几何性质 求椭圆的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标.例1 【答案】答案见解析. 【分析】根据椭圆的方程求出，，，然后可求出答案. 【详解】∵椭圆的方程为 ∴， ∴ ∴椭圆的长轴长为 短轴长为 离心率 焦点坐标为 顶点坐标为 椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______．例2 【答案】     10               ， 【分析】将椭圆方程化为标准方程即可得到，进而可求长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标. 【详解】由题意知：椭圆标准方程为， ∴， 即长轴长为10，短轴长为，焦点坐标，顶点坐标，. 故答案为：10；；；，. 求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.变1 【答案】长轴长为，短轴长为、焦点坐标为、顶点坐标为和离心率为 【分析】将椭圆方程化成标准方程即可解出． 【详解】因为椭圆的标准方程为，所以， 故长轴长为，短轴长为、焦点坐标为、顶点坐标为和离心率为． 直线与椭圆相交于两点，已知点坐标为，则点坐标为______.例3 【答案】略 直线与椭圆相交于两点，已知点坐标为，则点坐标为______.变2 【答案】略 考点二 根据椭圆的几何性质求方程 求满足下列条件的椭圆的标准方程．例1 （1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为； （2）椭圆过点，离心率； （3）在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8； （4）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4). 【分析】（1）由、、和长轴在x轴上，可得答案； （2）若焦点在x轴上，则，由、得椭圆的标准方程；若焦点在y轴上，则，由，得椭圆的标准方程； （3）分析知结合可得椭圆的标准方程； （4）椭圆化为标准形式可得焦点在y轴上，可设所求椭圆的方程为，利用焦点坐标、可得求椭圆的标准方程． （1）由题意，可知，，得，，从而，又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为． （2）若焦点在x轴上，则，由，得，所以，此时椭圆的标准方程为，若焦点在y轴上，则，由，得，此时椭圆的标准方程为，故椭圆的标准方程为或． （3）分析知，，故椭圆的标准方程为． （4）椭圆可化为，可知焦点在y轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆的方程为，则，又，即，所以，则所求椭圆的标准方程为． 椭圆，离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程．例2 【答案】 【分析】由题意得，又由离心率公式得到a、c的关系， 解出a、c.由 算出b，写出椭圆方程即可. 【详解】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴， 又，， ∴椭圆的方程为． 求适合下列条件的椭圆的标准方程：变1 （1）焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2； （2）一个焦点坐标为，短轴长为2； （3）离心率为，短轴长为4． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】(1)根据长轴求出a，根据焦距求出c，再根据求出b即可； (2)根据焦点坐标求出c并确定椭圆焦点位置，根据短轴长求出b，根据求出a即可； (3)根据短轴长求出b，根据离线率和求出a，然后根据椭圆标准方程即可求解.