江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学“四步教学法”高中数学苏教版选修1-2教案：3.2 复数四则运算（4份）

复数的四则运算（1）学案 一、明标自学 （1）学习目标 1、握复数的加法运算,减法运算，乘法运算及意义 2、掌共轭复数概念 （2）复习巩固 1.虚数单位 :(1)它的平方等于-1，即　 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－ 3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*　 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即 ，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数 ，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d　 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 二、合作探究 １．复数z1与z2的和的定义： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数z1与z2的差的定义： z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i) =(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1. 即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i， z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i) =［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i =［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］[来源:学科网] =(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］ =［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 即复数的加法运算满足结合律 5．乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6.乘法运算律： (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 7．共轭复数： 与 互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身． 共轭复数的简单性质： ； ； ． 三、点拨拓展： 例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) [来源:Z#xx#k.Com] 例2　计算 例3计算： (1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(2013—2014i)+(—2014+2015i) 例4　计算 ． 思考1　当a＞0时，方程x2＋a＝0的根是什么？ 思考2　设x，y∈R，在复数集内，能将 分解因式吗？ 四、当堂反馈 1．是复数为纯虚数的 条件。 2．实数，满足，则的值是 。 [来源:学,科,网][来源:学科网ZXXK] [来源:学&科&网Z&X&X&K] 3、若 是纯虚数，则实数 的值是 。 4．已知Z=1+i．若，求 5、设 为共轭复数，且 ，求 的值。 $$ 睢宁县菁华高级中学