5.2 三角函数的概念-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

5.2 三角函数的概念 目标导航 1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值. 2.掌握任意角三角函数在各象限的符号. 3.掌握三角函数诱导公式一并会应用． 4.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 5.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 知识解读 知识点一　任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝ 余弦 点P的 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝ 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝ 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z 【答案】纵坐标y sin α 横坐标x cos α tan α(x≠0) 知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点三　公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 ． 即 其中 【答案】相等 知识点四　同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝ 同一个角α的正弦、余弦 的 等于 商数关系 ＝ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的 【答案】1 平方和 1 tan α 正切 跟踪训练 一、单选题 1．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求出． 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 所以根据三角函数的定义可知，． 故选：C． 2．已知角的终边经过点，且，则（       ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义求得值． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 3．已知是角终边上一点，且，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可判断点位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可. 【详解】解：因为是角终边上一点，，故点位于第二象限， 所以，， 整理得：，因为，所以. 故选：D. 4．若，且为第四象限角，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由于，且为第四象限角， 所以， . 故选：D 5．已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数基本关系即可求得的值. 【详解】，则 又，所以． 故选：C 6．已知为第二象限角，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数在各象限的符号求解即可. 【详解】因为为第二象限角， 所以，故ABD错误，C正确. 故选：C 7．已知P是半径为3的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若，则点P到x轴的距离d关于时间t（单位：）的函数关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数定义直接可得. 【详解】经过t秒后，点P在角的终边上，由三角函数定义可知，点P到x轴的距离. 故选：D 8．在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：． 如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（       ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果． 【详解】解：当甲：错误时，乙：正确， 此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0）， 或， ∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲； 甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0）， 此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误， ∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误， ∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，， 故丙正确，丁错误，