5.1 任意角和弧度制-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

5.1 任意角和弧度制 目标导航 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念. 3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合． 4.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系. 5.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 知识解读 知识点一　任意角 1．角的概念： 角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 ． 2．角的表示： 如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点 . 3．角的分类： 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 零角 一条射线 做任何旋转形成的角 【答案】射线 旋转 图形 OA OB O 逆时针 顺时针 没有 知识点二　角的加法与减法 设α，β是任意两个角， 为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的 旋转角β. (2)α－β：α－β＝ ． 【答案】－α 终边 α＋(－β) 知识点三　象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限． 【答案】原点 终边 象限角 坐标轴上 知识点四　终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点五　度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的 弧度制 定义 以 作为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角 【答案】弧度 半径长 知识点六　弧度数的计算 （1）弧度数 正角的弧度数是一个 数. 负角的弧度数是一个 数. （2）零角的弧度数是 （3）弧度数的计算 公式： 【答案】正 负 0 知识点七　角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2π rad＝ 180°＝ rad π rad＝ 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 【答案】2π 360° π 180° 知识点八　弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 跟踪训练 1．与终边相同的角是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】与终边相同的角可表示为. 【详解】∵， ∴与终边相同的角是. 故选：D 2．的角化为弧度制的结果为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度和弧度的换算公式即可得到答案. 【详解】． 故选：C. 3．下列说法正确的是（       ） A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同 C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角 【答案】B 【分析】根据角的定义判断． 【详解】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误． 故选：B. 4．如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知为周角的，计算可得结果． 【详解】解：由图可知，． 故选：B． 5．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为l.当，时，的值约为（       ）（参考数据：，） A．0.01 B．0.05 C．0.13 D．0.53 【答案】D 【分析】根据题意求出与的值，代入弧长公式和求出和即可. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，在上，， 所以延长可得在上，， 所以， ， 所以. 故选：D 6．把表示成，的形式，则的值可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合弧度制求解即可. 【详解】∵，∴ 故选：B 7