专题2.6 有理数的规律问题（重点题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题2.6 有理数的规律问题 【典例1】观察下列各式： 13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2； 13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2； 13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2； 猜想并填空： （1）13+23+33+43+53＝　 　2＝　 　2； 根据以上规律填空： （2）13+23+33+…+n3＝　 　2＝　 　2； （3）求解：163+173+183+193+203． 【思路点拨】 （1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算； （2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算； （3）利用（2）中的结论进行计算． 【解题过程】 解：（1）由题意可得： 13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152， 故答案为：（1+2+3+4+5）；15； （2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[]2， 故答案为：（1+2+3+...+n）；[]； （3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153） ＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2 ＝[]2﹣[]2 ＝2102﹣1202 ＝44100﹣14400 ＝29700． 1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…； （2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…． 利用以上规律计算：f（2022）﹣f（）等于（　　） A．2021 B．2022 C． D． 【思路点拨】 从已知可得，n为正整数时，f（n）＝2n，f（）＝n，从而可得答案． 【解题过程】 解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044， 由（2）知f（）＝2022， ∴f（2022）﹣f（） ＝4044﹣2022 ＝2022， 故选：B． 2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（　　） A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010 【思路点拨】 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可． 【解题过程】 解：设向右跳动为正，向左跳动为负， 由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+[4034+（﹣4036）]+[4038+（﹣4040）] ＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（4034﹣4036）+（4038﹣4040） ＝﹣2020， 故选：C． 3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　） A．253 B．255 C．257 D．259 【思路点拨】 根据题意，n个小时后细胞存活的个数是2n+1，求出n＝8时的值即可． 【解题过程】 解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1； 3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1； …… n个小时后细胞存活的个数是2n+1， 当n＝8时，存活个数是28+1＝257． 故选：C． 4．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝　100　． 【思路点拨】 由该一连串的等式可以看出从1开始n个连续的奇数的和等于n2，所以可以得出1+3+5+7+…+19＝102，即从1开始10个连续的奇数相加． 【解题过程】 解：由1+3＝22，从1开始连续2个奇数相加； 1+3+5＝32，从1开始连续3个奇数相加； 1+3+5+7＝42，从1开始连续4个奇数相加； … 所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19＝102＝100． 故答案为：100． 5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过观察，用你发现的规律确定22021的个位数是 　2　． 【思路点拨】 由题意可得2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现可确定此题结果． 【解题过程】 解：∵21＝2，22＝4，23＝8