第09讲 基本不等式9种常见题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）

第9讲 基本不等式9种常见题型 【考点分析】 考点一：重要不等式 若，则，当且仅当时取等号； 考点二：基本不等式 若，则（或），当且仅当时取等号. 其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 考点三：几个常见重要的不等式 ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 【题型目录】 题型一：直接利用基本不等式求最值 题型二：“1”的代换，乘1法 题型三：常规凑配法 题型四：换元法 题型五：消参法 题型六: 双换元 题型七：齐次化 题型八：和、积、平方和的转化 题型九：多选题 【典型例题】 题型一 直接利用基本不等式求最值 【例1】（2021·湖南邵阳市）若正实数满足.则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【例2】（2021·六安市裕安区新安中学）已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（       ） A．18 B．27 C．54 D．90 2.（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（       ） A． B．4 C．8 D． 题型二：“1”的代换，乘1法 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 【例1】（2021·上海市大同中学）设为正数，且，则的最小值为_______. 【例2】（2021·河北石家庄市）已知，且，则的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．9 【例3】（2021·北京师范大学万宁附属中学）已知，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例4】（2021·浙江高一期末），，且，不等式恒成立，则的范围为_______. 【例5】（2021·浙江）当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【例6】若， ，则的最小值为__________． 【例7】若是正实数，且，则的最小值为　 　． 【例8】设，，则的最小值是 ． 【题型专练】 1.（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．2 B．4 C．8 D．12 2.（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 3.（2022·四川·石室中学三模（文））已知，且，则的最小值是(       ) A．49 B．50 C．51 D．52 4.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知正数a，b满足，则的最小值为___________. 5.（2022·天津·南开中学模拟预测）设，，，则的最小值为______． 6．（2022·重庆·三模）已知，，且，则的最小值为___________. 题型三：常规凑配法 【例1】（2021·云南文山壮族苗族自治州）已知，函数的最小值为（ ） A．4 B．7 C．2 D．8 【例2】（2021·安徽省泗县第一中学）函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例3】若对任意，恒成立,则的取值范围是__________. 【例4】设，则的最小值是 （A）2 （B）4 （C） （D）5 【例5】（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【题型专练】 1.（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值是（       ） A． B． C． D． 2.（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 3.（2022·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________. 题型四：换元法 【例1】（2021·永丰县永丰中学高一期末）函数（）的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例2】（2021·全国高一课时练习）函数的最小值是___________. 题型五：消参法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 【例1】已知，则的最小值是 ． 【例2】若实数，满足