第4章 数列（重点突破）-2022-2023学年高二数学上学期章节复习敲重点（苏教版2019选择性必修第一册）

第4章 数列 重点一、等差数列及其前n项和 【自主梳理】 1、等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n∈N*，d为常数)． (2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是____________，其中A叫做a，b的____________． 2、等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝____________，an＝am＋__________ (m，n∈N*)． (2)前n项和公式：Sn＝______________＝________________. 3、等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝____________. 4、等差数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则有________________，特别地，当m＋n＝2p时，________________. (2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． (3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为________；若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为____________． 【自我检测】 1、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为________． 2、等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝________. 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________. 4、若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝________. 5、设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________. 探究点一　等差数列的基本量运算 <例1>　等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50， (1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n. 变式迁移1　　设等差数列{an}的公差为d (d≠0)，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an. 探究点二　等差数列的判定 <例2>已知数列{an}中，a1＝，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝ (n∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由． 变式迁移2已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． (1)求a2，a3的值． (2)是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 探究点三　等差数列性质的应用 <例3>　若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数． 变式迁移3　　已知数列{an}是等差数列． (1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n； (2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 探究点三　等差数列的综合应用 <例4>　已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值． 变式迁移4　在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值． (2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|. 重点二、等比数列及其前n项和 【自主梳理】 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示(q≠0)． 2、等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝____________. 3、等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 4、等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则__________________． (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (4)单调性：或⇔{an}是________数列；或⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an} 是____数列；q<