1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 备注：资料包含：1. 基础知识归纳； 2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：两点间的距离；点到直线的距离；点到平面的距离；直线到平面的距离；平面到平面的距离；异面直线的距离；线线夹角；线面夹角；面面夹角 3. 课堂知识小结 4. 考点巩固提升 一、利用法向量求空间距离 ⑴点Q到直线距离 若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为 ⑵点A到平面的距离 若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值. 即 ⑶直线与平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即 ⑷两平行平面之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即 ⑸异面直线间的距离 设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。 即 二．利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则 ⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角 的余角.即有： ⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角. ( O A B O A B l )如图： 求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角 根据具体图形确定是锐角或是钝角： 如果是锐角，则， 即； ( 考点讲解 )如果是钝角，则， 即. 考点1：两点之间的距离 例1．已知直三棱柱中，，为中点，为中点，求 【方法技巧】 本题考查空间线段长度计算，建立空间直角坐标系，将长度计算转化为坐标计算，难度较易.已知，所以. 【变式训练】 【变式】．已知正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系， （1）求正方体各顶点的坐标； （2）求A1C的长度． 考点2：点到直线的距离 例2.（2022辽宁省大连市三模）如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________. 【方法技巧】 若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为 【变式训练】 【变式】．设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，.求点到直线的距离. 考点3：点到平面的距离 例3：（2022·河南郑州·二模（理））如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（       ） A． B． C． D． 【方法技巧】 若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值. 即 【变式训练】 【变式】．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中. 求点到平面的距离. 考点4：直线到平面的距离 例4：正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是（       ） A． B． C． D． 【方法技巧】 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即 【变式训练】 【变式】．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且. （1）求证： 平面； （2）求直线到平面的距离. 考点5：两个平面之间的距离 例5：在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离． 【方法技巧】 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即 【变式训练】 【变式】在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离． 考点6：两条一面直线之间的距离 例6.正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离. 【方法技巧】 设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。 即 【变式训练】 （2007·重庆·高考真题（理））如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1,；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5． （1）求异面直线DE与的距离； 考点7：异面直线的夹角 例7：（2018·全国·高考真题（理））在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【方法技巧】 已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则 【变式训练】 【变式1】（2022·福建龙岩·模拟预测