1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 备注：资料包含：1. 基础知识归纳； 2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线的方向向量；平面的法向量；线线平行；线面平行；面面平行；线线垂直；线面垂直；面面垂直。 3. 课堂知识小结 4. 考点巩固提升 知识归纳 一．直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为． ③求出平面内两个不共线向量的坐标． ④根据法向量定义建立方程组. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 二、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即. ⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即. ⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证. 三、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. ⑵线面垂直 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即. ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若 ( 考点讲解 )⑶面面垂直。 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证. 考点1：直线的方向向量 例1．（多选）设，是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（       ） A．（2，1，3） B．（4，1，6） C． D． 【方法技巧】 利用是空间直线l上的两点，以及向量的坐标运算法则，即可求出空间直线l的方向向量.. 【变式训练】 【变式】．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（       ） A． B． C． D． 考点2：平面的法向量 例2．（多选）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（       ） A．与是共线向量 B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3） C．与夹角的余弦值是 D．与方向相同的单位向量是（1，1，0） 【方法技巧】 设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可. 【变式训练】 【变式1】．已知平面，写出平面的一个法向量______． 【变式2】．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 考点3：线线平行 例3：若直线，的方向向量分别为，，则，的位置关系是（       ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【方法技巧】 1.建立合适的空间直角坐标系 2.求出需要直线的方向向量。看方向向量是否共线 【变式训练】 （多选）已知，，若，则与的值可以是（       ）. A．2， B．， C．， D．，2 考点4：线面平行 例4：如图，四边形为正方形，平面，，. 证明：平面. 【方法技巧】 建立合适的空间空间直角坐标系。求出平面的法向量和直线的方向向量。求出方向向量与法向量的关系即可 【变式训练】 【变式】如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明： 平面． 考点5：面面平行 例5：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD. 【方法技巧】 首先建立空间直角坐标系，利用坐标法证明直线和平面平行或者两个平面的法向量共线最后根据面面平行判定定理得证. 【变式训练】 【变式】：如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面. 考点6：线线垂直 例6．如图，空间四边形中，.求证：. 【方法技巧】 建立合适的空间的空间直角坐标系。求的两条直线的方向向量，利用向量的运算即可。 【变式训练】 【变式1】设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为， 点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,． 求证：； 考点7：线面垂直 例7.如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD． 【方法技巧】 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即. ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若 【变式