1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 备注：资料包含：1. 基础知识归纳； 2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间直角坐标系；空间中点的坐标公式；空间两点间的距离；空间向量的坐标运算；空间向量平行的坐标表示；空间中垂直的坐标表示；空间向量夹角的余弦表示 3. 课堂知识小结 4. 考点巩固提升 知识归纳 一、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。 注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z) 二、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z） 三、空间向量的直角坐标运算律： ①若，， 则， ，， ， ， 。 ②若，， 则。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z） 则,显然，当P为AB中点时， ④，三角形重心P坐标为 ⑤ΔABC的五心： 内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量） 外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。 垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直） 重心P：中线的交点，三等分点（中位线比） 中心：正三角形的所有心的合一。 四、模长公式：若，， 则， （5）夹角公式：。 ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ （6）两点间的距离公式：若，， 则， ( 考点讲解 )或 考点1：空间直角坐标系 例1（多选）．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（       ） A．点的坐标为，5， B．点关于点对称的点为，8， C．点关于直线对称的点为，5， D．点关于平面对称的点为，5， 【方法技巧】 1. 利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答. 2. 理解对称的含义 【变式训练】 【变式1】．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【变式3】．点到坐标平面的距离是______. 考点2：空间中点的坐标公式 例2．已知在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为（       ） A． B． C． D． 【方法技巧】 1.善用中点坐标公式。 2.根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案. 【变式训练】 【变式1】（多选）．已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（       ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【变式2】．已知、，则线段中点的坐标是______. 【变式3】．在空间直角坐标系中，已知，，则的中点P到坐标原点O的距离为______． 考点3：空间两点间的距离 例3．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为_____. 【方法技巧】 1.建立合适的空间直角坐标系，找到需要点的坐标。 2.由空间中两点的距离公式代入即可求出答案. 【变式训练】 【变式1】．空间点，，，若，则的最小值为_____. 【变式2】．已知为轴上一点，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为_____. 考点4：空间向量的坐标运算 例4．若，则=（       ） A． B． C． D． 【方法技巧】 1.空间向量坐标之间的关系 2.利用向量线性关系的坐标运 【变式训练】 【变式1】．已知向量，，则在的方向上的数量投影为（       ） A． B． C． D． 【变式2】．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________． 【变式3】．已知空间向量，且，则n＝_______，向量与的夹角为_______． 考点5：空间向量平行的坐标表示 例5．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（       ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧】 1.空间向量平行即共线 2.根据空间向量平行的坐标运算计算得解. 【变式训练】 【变式1】．已知向量，，若，则（       ） A．1 B． C． D．2 【变式2】．已知向量 ， 若 ，则实数________． 【变式3】．已知空间三点，，共线，则________，________． 考点6：空间中垂直的坐标表示 例6．