1.2 空间向量基本定理-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 备注：资料包含：1. 基础知识归纳； 2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间向量基底的概念；用空间基底表示向量；空间向量基本定理的应用 3. 课堂知识小结 4. 考点巩固提升 知识归纳 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使. 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个 ，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 ( 考点讲解 ) 考点1：空间向量基底的概念 例1．已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（       ） A． B． C． D． 【方法技巧】 1.根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念判断 2.根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论． 【变式训练】 【变式1】．在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（       ） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 【变式2】（多选）．已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，，两两共面，则，，共面 C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【变式3】．已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值． 考点2：用空间基底表示向量 例2．三棱柱中，为棱的中点，若，则（       ） A． B． C． D． 【方法技巧】 1.空间向量的基底 2.由空间向量的线性运算求解． 【变式训练】 【变式1】．如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是______. 【变式2】．已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________． 【变式3】．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，． (1)证明：、、、四点共面． (2)若，求． 考点3：空间向量基本定理的应用 例3．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 __． 【方法技巧】 1.利用基底概念。 2.结合各种计算，求出所需结果 【变式训练】 【变式1】．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ） A． B． C． D． 【变式2】．已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（       ） A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线 C．与共线 D．O，A，B，C四点共面 【变式3】．（多选）如图，在平行六面体中，，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（       ） A． B．向量共面 C． D．若，则该平行六面体的高为 ( 知识小结 ) 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。 ( 巩固提升 ) 一、单选题 1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（　　） A．++ B．+ C．++ D．+ 2．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（       ） A． B． C． D．2 3．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ） A． B． C． D． 4．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　 A． B． C． D．或 5．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（       ）． A．，， B．，1， C．，1， D．，1， 6．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（       ） A． B． C． D． 7．已知