1.1 空间向量及其运算-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1空间向量及其运算 备注：资料包含：1. 基础知识归纳； 2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间向量的概念；空间向量及其加减运算；空间共线向量；空间共面向量；数乘向量；向量的数量积 3. 课堂知识小结 4. 考点巩固提升o 知识归纳 一. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 二. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ; ; . 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 三. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 （2） ：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。 （3）三点共线：A、B、C三点共线<=> <=> （4）与共线的单位向量为 四. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使 （3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=> <=> 五、空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ① ：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相 ，记作a⊥b. ②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. （2）空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. ( 考点讲解 ) 考点1：空间向量的有关概念 例1．下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【方法技巧】 1.严格遵照空间向量的相关概念 2.利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断，即可确定每个选项的正确性． 【变式训练】 【变式1】．已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 【变式2】．下列说法正确的是（       ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【变式3】．在长方体中，若，，，则与有相等模的向量共有______个． 考点2：空间向量及其加减运算 例2．若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（　　） A． B． C． D． 【方法技巧】 1.理解空间向量加减的含义 2.可先画出正方体，根据向量加法的运算法则计算各式，再进行判断. 【变式训练】 【变式1】．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A． B． C． D． 【变式2】．在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________． 【变式3】．如图在平行六面体中，，，则的长是_________． 考点3：空间共线向量 例3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________. 【