笔记&必记 第一章 空间向量与立体几何-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

第一章空间向量与立体几何 第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 一、双基点击 1.空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)长度或模：向量的大小 (3)表示方法. ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起点是A,终点是B,也可记作：AB,其模记为a或AB. 2.几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：一aAB的相反向量：B才 相等向量 相同 相等 a=b 3.向量的加法、减法 加法 Oi=oi+O心=a+b 空间向量的运算 减法 Ci=oA-0心=a-b (1)交换律：a+b=b+a 加法运算律 (2)结合律：(a十b)+c=a+(b+c) 4.空间向量的数乘运算 (1)定义：实数入与空间向量a的乘积Aa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.当入>0时，a与 向量a方向相同；当入<0时，a与向量a方向相反；当A=0时，Aa=0;a的长度是a的长度的入倍. (2)运算律：①A(a+b)=Aa十Ab;②A(a)=()a. 5.空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作(a,b). 69 0人a→A (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角0的取值范围是[0，π].特别地，当=0时，两向量同向共线；当0=π时，两向量反 向共线，所以若a∥b,则a,b>=0或x;当(a,b)=乏时，两向量垂直，记作a1h. 6.空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a,b,则a|bcos(a,b)叫做a,b的数量积，记作a·b.即a·b=ab1cosa,b>. (2)数量积的运算律： 数乘向量与数量积的结合律 (Aa)·b=(a·b)=a·(λb) 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)=a·b+a·c 数学· ☑笔记&必记 (3)空间两向量的数量积的性质： 垂直 若a,b是非零向量，则a⊥b曰a·b=0 同向：则a·b=a·|b 共线 向量数量 反向：则a·b=一a·|b 积的性质 模 a·a=|al lalcos(a,a)=a2;a=√a·a;a·b≤a·bl 夹角 0为a,b的夹角，则cos0=a:b a b 二、规律方法 1.一些特殊向量的特性 (1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的. (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同. 若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量. 2.四点P,A,B,C共面白对空间任意一点O,都有O币=xO十yO十xC,且x十y十x=1. 3.OP=OA+xAB+yAC称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间一 点及两个不共线向量唯一确定. 4.证明（或判断）三点A,B,C共线时，只需证明存在实数入，使AB=λBC(或AB=λAC)即可，也可用“对 空间任意一点O,有O心=tOA十(1-t)OB”来证明三点A,B,C共线， 5.空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b=a b cos(a,b)并结合运算律进行计算 (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积 公式进行运算. 6.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入a·b=a|bcos<a,b)求解. 三、分类典例赏析 类型一空间向量的线性运算及其应用 命题角度1：数乘向量运算 【例1一1一1一1】在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，设AA=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是 AA1,BC,CD的中点，试用a,b,c表示以下各向量. (1)A产：(2)A:(3)M+NC 【解】(1)P是C1D1的中，点， ∴市-AA+AD+D产=a+i+号DC=a+e+A店=a+c+2b, (2):V是BC的中点∴A衣=A才+A恋+Bm=-a+b叶号成-=-a+b+号A市-=-a+b+2c (3):M是AA,的中点M=M+a市-号A有+a的-=含a+(a+e+2b)=a+号 b-c 又NC=NC+CC,=号BC+AA=)AD+AA=2c+a, &.MP+NC5-(ga+zb+e)+(a+je)-a+io+ 2c. 【方法规律】利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法