第3章 4 课时2 利用导数研究恒(能)成立问题-（课件+达标训练）2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P286] A组　保分练 1．设函数f(x)＝ln x－ax(a＞0). (1)判断f(x)的单调性； (2)当f(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围． 解析　(1)因为f(x)＝ln x－ax， 所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a， 因为a＞0，x∈时，f′(x)＞0，此时f(x)在上是增函数； x∈时，f′(x)＜0，此时f(x)在上是减函数． 所以f(x)在上是增函数，在上是减函数． (2)f(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，即a＞在(0，＋∞)上恒成立， 设g(x)＝，则g′(x)＝， 当x∈(0，e)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数； 当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数． 故当x＝e时，g(x)取得极大值，也为最大值，且为，所以a的取值范围为. 2．已知函数f(x)＝ex＋x，当x2＞x1＞0时，f(x1)－f(x2)＜(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)恒成立，求实数m的取值范围． 解析　f(x)＝ex＋x， f(x1)－f(x2)＜(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)，即f(x1)－mx－x1＜f(x2)－mx－x2， 由x2＞x1＞0知，上式等价于函数φ(x)＝f(x)－mx2－x＝ex－mx2在(0，＋∞)上为增函数， 所以φ′(x)＝ex－2mx≥0(x＞0)，即2m≤(x＞0). 令h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝， 当h′(x)＜0时，0＜x＜1；当h′(x)＞0时，x＞1； 当h′(x)＝0时，x＝1. 所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(1)＝e，则2m≤e，即m≤， 所以实数m的取值范围为. B组　提升练 3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a. (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围． 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－. (1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2. 直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为，2. 因此所求三角形的面积为. (2)当0<a<1时，f(1)＝a＋ln a<1. 当a＝1时，f(x)＝ex－1－ln x，f′(x)＝ex－1－. 当x∈(0，1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1. 当a>1时，f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥ex－1－ln x≥1. 综上，a的取值范围是[1，＋∞). 4．已知函数F(x)＝－. (1)设函数h(x)＝(x－1)F(x)，当a＝2时，证明：当x＞1时，h(x)＞0； (2)若F(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)证明　当a＝2时，h′(x)＝. 当x＞1时，h′(x)＞0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增， 又h(1)＝0， ∴当x＞1时，h(x)＞0. (2)设函数f(x)＝ln x－， 则f′(x)＝. 令g(x)＝x2＋2(1－a)x＋1， 当a≤1时，x＞0时，g(x)＞0， 当1＜a≤2时，Δ＝4a2－8a≤0，得g(x)≥0， 所以当a≤2时， f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0， 所以f(x)＞0，可得F(x)＞0. 当a＞2时，Δ＝4a2－8a＞0，此时g(x)有两个零点，设为t1，t2，且t1＜t2. 因为t1＋t2＝2(a－1)＞0，t1t2＝1，所以0＜t1＜1＜t2， 在(1，t2)上，f(x)单调递减，所以此时有f(x)＜0， 即ln x＜，得－＜0，此时F(x)＞0不恒成立，综上a≤2. C组　冲刺练 5．已知函数f(x)＝x－1－a ln x(a＜0). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若对任意的x1，x2∈(0，1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|＜4，求实数a的取值范围． 解析　(1)由题意知f′(x)＝1－＝(x＞0)， 因为x＞0，a＜0，所以f′(x)＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)不妨设0＜x1＜x2≤1，则＞＞0， 由(1)知f(x1)＜f(x2)， 所以|f(x1)－f(x2)|＜4⇔f(x2)－f(x1)＜4⇔f(x1)＋＞f(x2)＋. 设g(x)＝f(x)＋，x∈(0，1]， 易知g(x)在(0，1]上单调递减， 所以g′(x)≤0在(0，1]上恒成立⇔1－－＝≤