第3章 4 课时1 利用导数证明不等式-（课件+达标训练）2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P284] A组　保分练 1．已知函数f(x)＝3x2＋5x－ln x. 证明：对任意的x＞0，都有f(x)＋ex＞3x2＋5x＋2. 证明　由f(x)＋ex＞3x2＋5x＋2可得ex－ln x－2＞0， 令h(x)＝ex－ln x－2，则h′(x)＝ex－， 可知函数h′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又h′＝e－3＜0，h′(1)＝e－1＞0， 所以方程h′(x)＝0在(0，＋∞)上存在唯一实根x0， 且x0∈，ex0＝， 当x∈(0，x0)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减， 当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增． 所以h(x)min＝h(x0)＝ex0－ln x0－2＝－ln －2＝＋x0－2＞0，即ex－ln x－2＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以对任意的x＞0，都有f(x)＋ex＞3x2＋5x＋2. 2．已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x. 证明：(1)g(x)≥1； (2)(x－ln x)f(x)＞1－. 证明　(1)由题意得g′(x)＝(x＞0). 当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0， 即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 所以g(x)≥g(1)＝1. (2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝， 所以当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0， 即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数， 所以f(x)≥f(2)＝1－　①， 当且仅当x＝2时，等号成立． 又由(1)知x－ln x≥1　②， 当且仅当x＝1时，等号成立， 且①②等号不能同时取到， 所以(x－ln x)f(x)＞1－. B组　提升练 3．已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a>0时，证明f(x)≥. 解析　(1)f′(x)＝－＝(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>0时，若x>a，则f′(x)>0，函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增； 若0<x<a，则f′(x)<0，函数f(x)在(0，a)上单调递减． (2)证明　由(1)知，当a>0时， f(x)min＝f(a)＝ln a＋1. 要证f(x)≥，只需证ln a＋1≥， 即证ln a＋－1≥0. 令函数g(a)＝ln a＋－1， 则g′(a)＝－＝(a>0)， 当0<a<1时，g′(a)<0；当a>1时，g′(a)>0， 所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(a)min＝g(1)＝0. 所以g(a)≥0， 即ln a＋－1≥0恒成立， 所以f(x)≥. 4．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 解析　(1)f′(x)＝－a(x>0). ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明　因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e， 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(1)＝－e， 记g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝， 所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝－e， 综上，当x>0时，f(x)≤g(x)， 即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0. C组　冲刺练 5．已知函数f(x)＝ln x－. (1)求函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值； (2)设b＞a＞0，证明：＜. 解析　(1)f′(x)＝－＝≥0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增． 又f(1)＝0，所以f(x)min＝f(1)＝0. (2)证明　由(1)知，当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝ln x－≥0，即ln x≥， 由b＞a＞0，得＞1，所以ln ＞， 化简得ln b－ln a＞，所以＜. 6．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln (a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝，证明：g(x)＜1. 解析　(1)[xf(x)]′＝x′f(x)＋xf′(x)＝f(x)＋xf′(x). 当x＝0时，y′|x＝0＝f(0)＝ln a＝0，所以a＝1. 经检验符合题意． (2)证明　由f(x)＝ln (1－x)，得x＜1. 当0＜x＜1时，f(x)＝ln (1－x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)＝ln (1