第3章 3 导数与函数的极值、最值-（课件+达标训练）2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P282] A组　保分练 1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　) A．x＝1　　　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析　f′(x)＝2(x2－1)·2x＝4x(x＋1)(x－1)， 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝1. 答案　C 2．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是(　　) A．25，－2 B．50，14 C．50，－2 D．50，－14 解析　因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2. 答案　C 3．(2021·兰州市高三诊断考试)已知函数f(x)＝x3－ax2－bx(a＞0，b＞0)的一个极值点为1，则ab的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 解析　由题意，得f′(x)＝x2－ax－b.因为1是函数f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝－a－b＝0，所以a＋b＝， 所以ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以ab的最大值为，故选D. 答案　D 4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　) A． B． C． D． 解析　由题中图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×＝. 答案　C 5．设a∈R，若函数f(x)＝x＋a ln x在区间上有极值点，则a的取值范围是(　　) A． B． C．∪(e，＋∞) D．(－∞，e)∪ 解析　函数f(x)＝x＋a ln x在区间上有极值点⇔f′(x)＝0在区间上有零点．∵f′(x)＝1＋＝(x＞0)，∴f′·f′(e)＜0，∴(e＋a)＜0，解得－e＜a＜－.∴a的取值范围为. 答案　B 6．函数f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值为________ . 解析　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0， 令f′(x)＞0，得x＞0，令f′(x)＜0，得x＜0， 则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1， f(－1)－f(1)＝＋2－e＜＋2－e＜0， 所以f(1)＞f(－1).所以最大值为e－1. 答案　e－1 7．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则实数c的取值范围为________． 解析　若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点， 则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不相等的实根， 故Δ＝(－4c)2－12>0，解得c>或c<－. 所以实数c的取值范围为∪. 答案　∪ 8．某工厂拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).该蓄水池的体积最大时h＝________米． 解析　∵蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元， ∴蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， ∴h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3). ∵r>0，又由h>0可得0<r<5， ∴函数V(r)的定义域为(0，5)， V′(r)＝(300－12r2)， 令V′(r)＝0，解得r＝5或r＝－5(r＝－5<0，舍去). 当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数； 当r∈(5，5)时，V′(r)<0， 故V(r)在(5，5)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8. 答案　8 9．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．