第2章 3 函数的奇偶性与周期性-（课件+达标训练）2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P263] A组　保分练 1．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于原点对称　　　 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 解析　f(x)＝2x＋2－x，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称．故选D. 答案　D 2．(2021·贵阳市第一学期监测考试)函数f(x)＝(x－1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(1)＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析　由已知得f(x)＝(x－1)2＝x2－2x＋1＝h(x)＋g(x)，∵h(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴g(x)＝x2＋1，h(x)＝－2x，∴g(1)＝12＋1＝2，故选D. 答案　D 3．(2022·贵阳市普通摸底考试)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－2，则满足－2≤f(x－2)≤2的x的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．[－1，1] C．[1，3] D．[0，4] 解析　因为函数y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝2，所以不等式－2≤f(x－2)≤2可化为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又函数y＝f(x)在R上单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，所以满足题意的x的取值范围是[1，3]，故选C. 答案　C 4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[3，5] B．[－1，1] C．[1，3] D．[－1，1]∪[3，5] 解析　因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，所以不等式－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(|x－2|)≤f(3)，所以1≤|x－2|≤3，得1≤x－2≤3或－3≤x－2≤－1， 即3≤x≤5或－1≤x≤1， 即x的取值范围是[－1，1]∪[3，5]. 答案　D 5．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x＜1时，f(x)＝4x(1－x)，则f＝(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－6 解析　因为f(x)是周期为2的奇函数， 所以f＝f＝f＝－f. 因为当0≤x＜1时，f(x)＝4x(1－x). 所以f＝4××＝1， 故f＝－1.故选C. 答案　C 6．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝__________，f(g(－2))＝________． 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即a＝0，若x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，则g(2x)＝－(x2－2x－1)，令x＝－1，则g(－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f(g(－2))＝－7. 答案　0　－7 7．设函数f(x)＝＋1在x∈[－9，9]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 解析　f(x)＝＋1，其中上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f(x)的最大值与最小值之和就是2×1＝2. 答案　2 8．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________． 解析　当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，令f(x)＝x3－x＝0得x＝0或x＝1，即f(0)＝0，f(1)＝0，又T＝2， ∴f(2)＝f(4)＝f(6)＝f(0)＝0， f(3)＝f(5)＝f(1)＝0， 故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7. 答案　7 9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式． 解析　(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. ∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， ∴f(x)＝x2－6x＋8. 即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. B组　提升练 10．已知函数f(x)＝那么该函数是(　　) A．奇函数，且在定义域上单调递减 B．奇函数，且在定义域上单调递增 C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 解析　当x＞0时，f(－x)＝－