第3章 1 导数的概念及其几何意义、导数的运算-（课件+达标训练）2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P278] A组　保分练 1．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f′＝1，则a＝(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．4 解析　因为f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f′＝1，所以sin ＋cos ＋a＝1，即a＝0. 答案　A 2．f(x)＝x2，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．2 B．1 C．－2 D．－1 解析　f′(x)＝(x2)′＝2x，又f′(x0)＝2， 所以2x0＝2，x0＝1. 答案　B 3．(2021·四省八校第一学期考试)设函数f(x)＝x＋g(x)在R上可导，且在f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋2，则g(1)＋g′(1)的值为(　　) A.－2 B．0 C．1 D．2 解析　∵点(1，f(1))在切线y＝－x＋2上，∴f(1)＝－1＋2＝1.又f′(1)＝－1，∴f(1)＋f′(1)＝0.∵f(x)＝x＋g(x)，∴f′(x)＝1＋g′(x)，∴f(1)＋f′(1)＝1＋g(1)＋1＋g′(1)＝0，故g(1)＋g′(1)＝－2.故选A. 答案　A 4．(2021·昆明市“三诊一模”质量检测)曲线y＝xe－2x＋1在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　) A．e B． C． D． 解析　根据题意知，切点为，y′＝e－2x＋1－2xe－2x＋1，所以切线的斜率k＝－，切线方程为y－＝－(x－1)，即y＝－x＋， 则切线与两坐标轴的交点为(2，0)，，所以三角形的面积S＝×2×＝，故选C. 答案　C 5．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)和(－1，3) D．(1，－3) 解析　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或P(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上．故选C. 答案　C 6．已知函数f(x)＝＋，则f′(x)＝________． 解析　f′(x)＝＋(x－2)′＝＋(－2)x－3＝－. 答案　－ 7．(2021·云南省部分学校统一检测)已知函数f(x)＝＋3ln x－x2，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为bx＋y－2＝0，则a＋2b＝________． 解析　由题意知，f′(x)＝－＋－2x，f′(1)＝－a＋1＝－b，f(1)＝a－1＝2－b，解得a＝2，b＝1，所以a＋2b＝4. 答案　4 8．(2021·东北三校第一次联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)＋xf′(x)＝，f(1)＝1，则f(x)的零点是________． 解析　令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝，∴g(x)＝ln x＋C(C为常数)，即xf(x)＝ln x＋C(C为常数).又f(1)＝1，∴C＝1，∴f(x)＝，令f(x)＝＝0，则ln x＋1＝0，∴ln x＝－1，得x＝e－1＝，故f(x)的零点为. 答案　 9．已知函数f(x)＝－x3＋x2＋ax＋b(a，b∈R). (1)当a＝3，b＝0时，求函数f(x)在(3，f(3))处的切线方程； (2)若函数f(x)在其图象上任意一点(x0，f(x0))处切线的斜率都小于2a2，求实数a的取值范围． 解析　(1)a＝3，b＝0时， f(x)＝－x3＋x2＋3x， f(3)＝9，f′(x)＝－x2＋2x＋3， f′(3)＝－9＋6＋3＝0，k＝0， 所以函数f(x)在x＝3处的切线方程为y＝9. (2)因为f′(x)＝－x2＋2x＋a， 由题意得f′(x)＝－x2＋2x＋a＜2a2对任意x∈R恒成立， 即－x2＋2x＜2a2－a对任意x∈R恒成立， 设g(x)＝－x2＋2x， 所以g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， 所以当x＝1时，g(x)有最大值为1， 所以2a2－a＞1，解得a＞1或a＜－， 所以，实数a的取值范围为. B组　提升练 10．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)＜f′(2)＜a B．f′(1)＜a＜f′(2) C．f′(2)＜f′(1)＜a D．a＜f′(1)＜f′(2) 解析　由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为＝a，所以易知f′(1)＜a＜f′(2). 答案　B 11．(2021·新高考全国卷Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　) A．eb<a B．ea<b C．0<a<eb D．0<b<