第2章 9 实际问题中的函数模型-（课件+达标训练）2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P275] A组　保分练 1．(2021·江西部分省级重点中学联考)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了一组实验数据，现准备用下列四个函数近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2　　　　　　 B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝logx 解析　根据表中数据y随x的变化趋势可得，在(0，＋∞)上，y随着x的增大而增大，且增大速度越来越快， A中函数是线性增加的，B中函数的增加速度比线性增加还要缓慢，D中函数是减函数，均不符合条件，只有C中函数符合这一变化规律，故选C. 答案　C 2．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16 m元，则该职工这个月实际用水为(　　) A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3 解析　设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝ 则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.故选A. 答案　A 3． 某种产品的产销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年年产量的 变化规律；l2表示产品各年的销售量变化情况．则以下叙述不合理的是(　　) A．产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去 B．产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌 C．产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量 D．产品的产、销年增长率均保持不变 解析　产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线l1斜率大，上升快，l2斜率小，上升慢，所以随着x的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重．但产品的产、销年增长率均保持不变．故选A. 答案　A 4．人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0 dB是人能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝10lg ，则90 dB的声音与60 dB的声音强度之比为(　　) A．100 B．1000 C． D． 解析　设90 dB的声音与60 dB的声音强度分别为x1，x2，则由f(x1)＝90，即10lg ＝90，解得x1＝10－3；由f(x2)＝60，即10lg ＝60，解得x2＝10－6.因此所求强度之比为＝＝1000. 答案　B 5．(2021·南通市第一次调研测试)医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式x＝(1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，当t＝23时，x＝，则该药物的消除速率k的值约为(ln 2≈0.69)(　　) A． B． C． D． 解析　由题意当t＝23时，x＝，即＝(1－e－23k)，则e－23k＝，取自然对数，得ln e－23k＝ln ， 所以－23k＝－ln 2，解得k＝≈＝，故选A. 答案　A 6．某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只． 解析　由题意知100＝alog2(1＋1)⇒a＝100， 当x＝7时，可得y＝100log2(7＋1)＝300. 答案　300 7．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 解析　由题意知，容积V＝(a－2x)2x＝4x3－4ax2＋a2x，0＜x＜，则V′＝12x2－8ax＋a2＝(2x－a)(6x－a). 由V′＝0，得x＝或x＝(舍去)， 由V′＞0，得x∈；由V′＜0，得x∈， 所以x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝a3. 答案　a3 8．(2021·陕西咸阳二模)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y＝(如图所示)，实验表明，当药物释放量y＜0.75(mg/m3)时对人体无害． (1)k＝________； (2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间． 解析　(1)由题图可知，当t＝时，y＝1，所以＝1，所以k＝2. (2)由(1)可知，y＝ 当t≥时，y