第1章 空间向量与立体几何章末复习方案(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册 人教A版（2019)

章末复习方案 类型一　利用空间向量证明线、面的位置关系 用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结： (1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量． (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题． 【真题1】 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD． 证明 (1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，则B(0，0,0)，D(0，2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0，2，－2)，所以·＝0，·＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD．又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD． (2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)， 则＝，＝(0,1,1)，所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD． 类型二　利用空间向量求解空间角 空间角的求解可以通过几何方法得到，但其中要作出所求的角，对考生的空间想象能力、推理论证能力有较高的要求，使用空间向量方法可以减少作图，只要建立合理的空间直角坐标系，把所求的角转化为向量之间的夹角即可．高考试题中的立体几何解答题往往是分步设问，其中空间位置关系证明部分侧重考查几何的方法，空间角求解部分侧重考查空间向量方法． 【真题2】 (2021·新高考Ⅱ)如图，在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3. (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求二面角B－QD－A的平面角的余弦值． 解析 (1)在△QDC中，因为QD2＋CD2＝QC2，所以CD⊥QD． 又CD⊥AD，QD∩AD＝D，QD，AD⊂平面QAD，所以CD⊥平面QAD． 因为CD⊂平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD． (2)分别取AD，BC的中点O，E，连接OE，QO， 因为QD＝QA＝，所以QO⊥AD， 又平面QAD⊥平面ABCD，平面QAD∩平面ABCD＝AD， 所以QO⊥平面ABCD，所以QO⊥OE.易知OE⊥AD， 所以直线OE，OD，OQ两两垂直，故以O为坐标原点，OE，OD，OQ所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2，－1,0)，D(0,1,0)，＝(－2,2,0)．易知OQ＝＝2， 所以Q(0,0,2)，所以＝(－2,1,2)． 设平面BQD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则n＝. 易知m＝(1,0,0)为平面AQD的一个法向量， 所以cos〈m，n〉＝＝＝， 易知二面角B－QD－A的平面角为锐角， 所以二面角B－QD－A的平面角的余弦值为. 类型三　用空间向量解决折叠问题 折叠问题是指把一个平面图形沿一条直线折起使之成为空间图形的一类问题，这类问题对解题者的空间想象能力有较高要求，折叠问题是高考中的一个重要命题点． 【真题3】 (2019·全国Ⅲ改编)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图2中平面BCG和平面ACG的夹角的大小． 解析 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC． 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，则BH＝1