2.3.1 两条直线的交点坐标&2.3.2两点间的距离公式(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册 人教A版（2019)

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 2．3.2　两点间的距离公式 [学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式并会应用(重点).4.会用坐标法证明简单的平面几何问题(难点)． 要点一　两条直线的交点 1．两直线的交点 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上，所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．两直线的位置关系 在同一平面内的两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，直线l1与l2的位置关系如下： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 要点二　两点间的距离公式 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式|P1P2|＝. 注意：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 思考：当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点间的距离公式还适用吗？ 提示 适用．当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (2)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) (4)点P1(0，a)和点P2(b,0)之间的距离为a－B．(　　) (5)在两点间的距离公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果．(　　) 解析 (1)正确．由直线交点坐标的概念可知． (2)错误．当m＝时，两直线平行． (3)错误．当方程组有无数多组解时，两直线重合． (4)错误．|P1P2|＝. (5)正确．两点间的距离公式与坐标之差的平方有关，所以位置可以互换，不影响计算结果． 答案 (1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 类型一　两直线的交点问题 规律总结 (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． 【例题1】 (1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为(　　) A． B． C． D． (2)经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0 解析 (1)解方程组得故两直线的交点坐标为.故选B项． (2)联立直线方程得解得所以交点坐标为(1,6)，直线x－2y＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.故选A项． 答案 (1)B　(2)A 【变式1】 (1)三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值． (2)求过两条直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程． 解析 (1)解方程组得所以两条直线的交点坐标为(4，－2)． 由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋7＝0上， 所以a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－. (2)联立解得即两直线的交点为(－2,2)．由题可设所求直线的方程为7x＋6y＋m＝0，因为此直线过点(－2,2)，所以7×(－2)＋6×2＋m＝0，解得m＝2，故所求的直线方程为7x＋6y＋2＝0. 类型二　两点间的距离 解题技巧 关于两点间距离公式的应用问题通常有两类：一类是已知两点求距离，可直接套用两点间的距离公式；另一类是已知两点间的距离求点的坐标，可设出未知数，逆用两点间的距离公式列出方程(组)求解．使用公式时常结合根与系数的关系变形应用，要善于从公式到几何意义的逆用，借助数形结合的思想解题． 【例题2】 求下列两点间的距离． (1)A(2,0)，B(0,8)；(2)A(1,3)，B(－2,1)； (3)A(5,0)，B(－1,0)；(4)A(a,3)，B(a，－3)． 解析 (1)|AB|＝＝2. (2)|AB|＝＝. (3)由于点A，B均在x轴上，故有|AB