2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册 人教A版（2019)

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学习目标] 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直(重点).2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题(难点)． 要点一　两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 思考：两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ 提示 不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在． 要点二　两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 思考：当直线m与直线n平行或垂直时，它们对应的斜率有怎样的关系？ 提示 当两直线平行时，它们对应的斜率相等．当两直线垂直时，它们对应的斜率的乘积为－1.特别地，当两直线的斜率都不存在时，两直线平行．当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.(　　) (2)若两条直线平行，则这两条直线的方向向量一定相等．(　　) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　) (4)若两条直线的斜率都不存在，且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　) 解析 (1)错误．当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两直线也垂直． (2)错误．若两条直线平行，则这两条直线的方向向量只要共线即可． (3)错误．当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线才垂直． (4)正确．斜率都不存在且不重合的两条直线都是垂直于x轴的直线，所以这两条直线平行． 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 类型一　两条直线的平行与垂直 规律总结 (1)l1∥l2⇔k1＝k2的前提包括：①l1和l2是两条不重合的直线；②l1和l2的斜率都存在．两个前提条件少了任何一个都会导致结论错误． (2)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1的前提是l1与l2都有斜率且不等于零．若忽略此前提条件，容易导致结论错误． 【例题1】 判断下列各题中直线l1，l2的位置关系． (1)若l1的斜率为1，l2经过点P(1,1)，Q(3，3)，则________； (2)若l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点C(5，－2)，D(5,5)，则________； (3)若l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点C(－1,3)，D(2,0)，则________； (4)若l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2)，则________； (5)若l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2，1)，则________. 解析 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. (1)k1＝1，k2＝＝1， 因为k1＝k2，所以l1与l2重合或l1∥l2. (2)l1与l2都与x轴垂直，通过数形结合知l1∥l2. (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1， 因为k1＝k2，所以由数形结合知l1∥l2. (4)k1＝＝2，k2＝＝－， 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. (5)l1的斜率不存在，k2＝＝0， 画出图形如图所示，由图知l1⊥l2. 答案 (1)l1与l2重合或l1∥l2　(2)l1∥l2　(3)l1∥l2　(4)l1⊥l2　(5)l1⊥l2 【变式1】 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直． (1)l1的倾斜角为60°，l2经过点A(1，)，B(－2，－2)； (2)l1经过P(3,4)，Q(3,5)两点，l2经过M(－10，40)，N(2,40)两点． 解析 (1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.由题意可知k1＝tan 60°＝，k2＝＝. 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合． (2)因为l1经过P(3,4)，Q(3,5)两点，l2经过M(－10,40)，N(2,40)两点，所以l1的斜率不存在，l2的斜率为0，所以l1⊥l2. 类型二　平行与垂直关系的应用 答题模板 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 【例题2】 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 解析 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示． 因为kAB＝＝， kCD＝＝， kAD＝＝－3， kBC＝＝－， 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD． 因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．