2.1.1 倾斜角与斜率(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册 人教A版（2019)

第二章　直线和圆的方程 2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 [学习目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点)． 要点一　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． 要点二　直线的斜率 1．直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3.过两点的直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 思考：你能说出直线的倾斜角与斜率的区别与联系吗？ 提示 ①直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系．它们都反映了直线相对于x轴的倾斜程度，本质上是一致的．但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．②倾斜角α可正、可零，但不可为负，而斜率k不仅可正、可零，还可以为负．③当α＝90°时，直线斜率不存在，当α≠90°时，可以建立倾斜角α和斜率k之间的函数关系，即k＝tan α(α≠90°)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　) (2)若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(　　) (3)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．(　　) 解析 (1)错误．倾斜角为90°的直线不存在斜率． (2)错误．若直线的倾斜角为α，则0°≤α<180°.　 (3)错误．当倾斜角为90°时，直线对应的斜率不存在． (4)错误．当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，无法用该公式求斜率． 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)× 类型一　直线的倾斜角 误区防错 直线倾斜角的注意点 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 【例题1】 (1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α满足的条件是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 解析 (1)因为α是直线的倾斜角，所以0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α满足的条件是90°<α<180°.故选C项． (2)根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选AB项． 答案 (1)C　(2)AB 【变式1】 (1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________. (2)如图，已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1与l2向上的方向所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________. 解析 (1)有两种情况：①如图a，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°；②如图b，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.故直线l的倾斜角为60°或120°. (2)设直线l2的倾斜角为α2，因为l1与l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 答案 (1)60°或120°　(2)135° 类型二　直线的斜率 误区防错 求直线的斜率的注意点 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关． (3)若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 【例题2】 经过下列两点的直线的斜率是否存在