1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册 人教A版（2019)

第二课时　空间中直线、平面的垂直 [学习目标] 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系(重难点).3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理． 要点　直线、平面垂直的向量表示 1．线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．直线和平面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．平面和平面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.　 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(　　) (2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直．(　　) (3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.(　　) (4)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于直线l在平面α内的投影，则l与m垂直．(　　) 解析 (1)正确．由线线垂直的向量表示可知正确． (2)错误．若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内． (3)正确．若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所以这两个平面的法向量所成的角一定是90°. (4)错误．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，但也不能得出l⊥m的结论． 答案 (1)√　(2)×　(3)√　(4)× 类型一　证明线线垂直 规律总结 用向量证明空间两条直线相互垂直的主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直，即证明他们的方向向量的数量积为0，证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量． 【例题1】 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC． 证明 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)， 从而E，F， 所以＝，＝(0,2,0)， 因此·＝0.从而⊥，所以EF⊥BC．　 【变式1】 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，用向量法证明：EF⊥DA1. 证明 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则可得D(0,0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)，　 所以＝(2,0,2)，＝(－1，－1,1)， 所以·＝2×(－1)＋0×(－1)＋2×1＝0， 所以⊥，即EF⊥DA1. 类型二　直线和平面垂直 规律总结 用向量证明线面垂直的方法与步骤 (1)①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量的数量积． (2)①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行． 【例题2】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F. 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F， 所以＝，＝(－1,0,0)，＝.　 设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)， 则即解得 令z＝1，则n＝(0,2,1)．又＝，所以n＝2.所以n∥，即AE⊥平面A1D1F. 【变式2】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD． 证明 由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图， 设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E，所以＝(1,1，－1)，＝，＝，　 设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，＝. 因为⊥，所以x＋－＝0，即x＋y－z＝0.① 又因为∥，所以可设＝λ(0≤λ≤1)， 所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.② 由①②可知，x＝，y＝，z＝， 所以＝. 方法一　因为·＝(1,1，－1)·＝0＋－＝0，所以⊥，即PB⊥DE， 因为PB⊥EF，且EF∩DE＝E