1.1.2 空间向量的数量积运算(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册 人教A版（2019)

1.1.2　空间向量的数量积运算 [学习目标] 1.掌握空间向量的数量积(重点).2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.数量积在空间中的简单应用(重难点)． 要点一　空间向量的夹角 1．定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. 2．向量a，b的夹角〈a，b〉的范围是[0，π].如果〈a，b〉＝，那么称向量a，b互相垂直，记作a⊥B． 思考：当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？ 提示 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向． 要点二　空间向量的数量积 1．定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.　 2．性质 (1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. (2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2，|a|＝. (3)cos〈a，b〉＝. (4)|a·b|≤|a|·|b|. 要点三　向量a的投影和投影向量 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉·，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 2．如图(2)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 　　 要点四　空间向量的数量积满足的运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·C． 思考：数量积的运算满足结合律吗？ 提示 数量积的运算不满足结合律，也不满足消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·b＝a·cb＝C． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)向量与的夹角等于向量与的夹角．(　　) (2)若向量与的夹角为α，则直线AB与CD所成的角也为α.(　　) (3)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (4)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(　　) 解析 (1)错误．向量与的夹角和向量与的夹角互补，而不是相等． (2)错误．不一定，可能是α，也可能是π－α. (3)错误．(a·b)·c是与c共线的向量，而a·(b·c)是与a共线的向量． (4)正确．由数量积的性质知正确． 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 类型一　数量积的计算 规律总结 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算． (2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算． 【例题1】 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积． (1)·；(2)·；(3)·. 解析 如图所示，连接BA1，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)·＝(＋)·(＋)＝·＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝－×22＋×42＝2. 【变式1】 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心，求下列向量的数量积． (1)·；(2)·；(3)·. 解析 (1)如图，||＝a，在上的投影向量为，因为||＝a，所以·＝||·||＝a×a＝a2. (2)取AB的中点E，所以O1E⊥AB，所以在上的投影向量为， 又||＝a，||＝a， 所以·＝||·||＝a×a＝a2. (3)由题意可得〈，〉＝〈，〉＝60°， 又||＝||＝a，所以·＝||||·cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2. 类型二　用数量积求角和距离 规律总结 (1)找两向量的夹角的关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． (2)利用数量积求异面直线所成角的方法步骤：①根据题设条件在两异面直线上取两个向量；②将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题；③利用数量积求角的大小．注意异面直线所成角的范围是. (3)求空间两点间的距离(线段的长可看成线段两端点间的距离)可以利用空间向量的数量积将其转化为求