1.1.1 空间向量及其线性运算(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册 人教A版（2019)

第一章　空间向量与立体几何 1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 [学习目标] 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念(重点).2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算(重点).4.理解并会应用空间向量共线、共面的充要条件(难点)． 要点一　空间向量的有关概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小. 3．表示方法 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示； (2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 要点二　特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 要点三　空间向量的线性运算 1．定义 如图，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： (1)a＋b＝＋＝； (2)a－b＝－＝； (3)当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律(其中λ，μ∈R) (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；　 (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λB． 要点四　空间中的共线向量 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λB． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. 思考：由数乘λa＝0，能否得出λ＝0? 提示 不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0. 要点五　空间中的共面向量 1．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 2．向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 3．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yB． 思考：若向量p，a，b满足p＝xa＋yb，那么向量p，a，b共面吗？ 提示 共面．当a与b共线时，显然向量p，a，b共面；当a与b不共线时，由向量共面的充要条件，可知向量p，a，b共面． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)零向量没有方向．(　　) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．(　　) (3)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．(　　) (4)若a＝－b，则|a|＝|b|.(　　) (5)若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同．(　　) 解析 (1)错误．零向量与任意向量共线，故可以认为零向量的方向是任意的． (2)错误．方向相同或相反的向量称为共线向量，与是否有公共终点无关． (3)错误．当λ>0时，λa与向量a的方向相同；当λ<0时，λa与向量a的方向相反． (4)正确．由相反向量的概念可知正确． (5)错误．若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定． 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 类型一　空间向量的概念 误区防错 解答空间向量有关概念问题的注意点 (1)空间向量的两大要素：大小和方向．两向量相等的充要条件：大小相等，方向相同． (2)两个特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，方向任意； ②单位向量：长度为1的向量，方向不确定． (3)空间向量不能比较大小，但空间向量的模可以比较大小． 【例题1】 给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b； ③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等不一定起点相同、终点相同