专题05 二次函数的概念、图形和性质（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学上册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题05 二次函数的概念、图形和性质 【思维导图】 ◎考点题型1 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 例．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（       ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数的定义判断即可． 【详解】 ①是二次函数； ②是二次函数； ③是二次函数； ④不是二次函数； ⑤不是二次函数； ⑥不是二次函数； 这六个式子中二次函数有①②③ 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数． 变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）若函数y＝m+4是二次函数，则m的值为（       ） A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1 【答案】C 【解析】 【分析】 利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可． 【详解】 解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0， 解得：m＝﹣1，故C正确． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 变式2．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数的图象经过原点，则的值为（       ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后根据二次函数的定义确定a的值． 【详解】 把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1， 而a+1≠0， 所以a的值为1． 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要掉了a+1≠0． 变式3．（2022·河南安阳·一模）用长为1米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（       ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可得矩形的一边长为米，则另一边长为米，根据矩形的面积公式计算即可求得则S与x的函数关系． 【详解】 解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， ∴ ∴S与x的函数关系为二次函数关系， 故选C 【点睛】 本题考查了列二次函数关系式，表示出矩形的另一边的长是解题的关键． ◎考点题型2 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 例．（2021·江苏·靖江外国语学校一模）下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（       ） A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1 【答案】C 【解析】 【分析】 分别根据正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解． 【详解】 解：A．y＝−2x，y随x增大而减小，不符合题意； B．，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意； C．y＝2（x＋1）2，当x＞−1时，y随x增大而增大，所以当x＞0时，y随x增大而增大，符合题意； D．y＝−x2＋1，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题综合考查二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性）．掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的性质是解题的关键． 变式1．（2022·河南·模拟预测）已知点A（−1，m），B（1，m），C（2，n）（n<m）在同一个函数图象上，这个函数可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由点A(-1，m)，B(1,m)的坐标特点，则知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B两项；再根据B(1，m)，C(2，n)的特点，结合二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a<0，则可作出判断． 【详解】 解：A、∵A（−1，m），B（1，m）， ∴A点和B点关于y轴对称， ∵的图象关于原点对称，故该选项错误，不符合题意； B、∵A点和B点关于y轴对称，而 图象关于原点对称，故该选项错误，不符合题意； C、∵2>1，而n<m， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而当x>0时，随x的增大而增大，故该