专题09 二次函数最值和存在性问题（专项突破）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学上册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题09 二次函数的最值和存在性问题 【思维导图】 ◎突破一：线段周长最值 【技巧】二次函数求最值通常有两种类型：一种是通过几何性质线段公理和垂线段公理求最值，常常把折的问题转化成直的问题；另一种通过函数的性质求最值。 线段最值即把线段的两个端点用坐标表示出来，然后根据距离差，列出关于坐标的二次函数的表达式，化为顶点式，即可求出；在求周长的最值问题时，一般会和将军饮马问题有关，找到对称点，将周长问题转化为线段最值即可。 例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）． (1)求此抛物线的解析式和对称轴． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝ (2)存在，P的坐标为（，﹣） 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数解答，即可求解； （2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得 （1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得： 解得：     ∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2． ∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣∴抛物线的对称轴为x＝ ． （2）解：存在，理由如下：连接PB由抛物线的对称性得：PA＝PB∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，设直线BC的解析式为y＝kx+m，将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，得，解得：，即直线BC的解析式为y＝x﹣2．令x＝，则有y＝﹣2＝﹣，即点P的坐标为（，﹣）．∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 专训1．（2021·安徽宣城·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M． （1）求抛物线的函数关系式． （2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）作点关于对称轴对称的点，连接，先根据二次函数的解析式求出点的坐标，从而可得点的坐标，再根据二次函数的对称性可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，周长最小，最后利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】 解：（1）将点代入得：， 解得， 则抛物线的函数关系式为； （2）二次函数的对称轴为直线， 当时，，即， ， 如图，作点关于对称轴对称的点，连接，则，， 周长为， 当取得最小值时，周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为， 由两点之间的距离公式得：， 则周长的最小值为． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 专训2．（2021··九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于点C． （1） 求抛物线的解析式； （2） 若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）P点坐标为（2，－1） 【解析】 【分析】 （1）设点A的坐标为，点B的坐标为，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A、B的坐标，进而抛物线解析式可求； （2）连接BC，交直线x＝2于点P，则PA＝PB，则有PA＋PC＝PB＋PC＝BC，所以此时PA＋PC最小，然后求出直线BC的解析式，进而问题可求． 【详解】 解：（1）设点A的坐标为，点B的坐标为， ， ∴， 把点A的坐标（1，0）代入得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：连接BC，交直线x＝2于点P，则PA＝PB，如图所示： ∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC，∴此时PA＋PC最小， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 把C（0，－3），B（3，0）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为y＝x－3，当x＝2时，y＝x－3＝2－3＝－1， ∴P点坐标为（2，－1）． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 专训3．（2022·湖南常德·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标． 【答案】（1）