第02讲 解直角三角形-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第02讲 解直角三角形 ( 目标导航 ) 课程标准 1.知道解直角三角形的概念。 2.会用勾股定理和三角函数解直角三角形，并能解决简单的实际问题。 3.会将求非直角三角形中的边、角问题转化为解直角三角形问题。 ( 知识精讲 ) 知识点01 解直角三角形 1．解直角三角形的概念 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2．直角三角形中边角之间的关系 如图所示，在中，，为锐角，，他们所对的边分别为a，b，c，其中除直角 外，其余的5个元素之间有以下关系： 元素之间的关系 关系式 三边之间的关系 （勾股定理） 锐角之间的关系 边角之间的关系 除直角外再知道其中的两个元素（至少有一个元素是边），利用这些关系就可以求出其余的三个未知元素。 知识点02 解直角三角形的常见类型及方法 图示 已知条件 解法步骤 两 边 （1）两直角边（a，b） 由，求;; （2）一直角边和斜边（如（a，c）） 由，求;; 一 边 一 锐 角 （3）一直角边和一锐角 锐角，邻边（如，b） ；； 锐角，对边（如，a） ； ； （4）斜边，锐角（如c，） ；； 注意： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算。 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边。 知识点03 求非直角三角形中的边和角 将非直角三角形问题转化为直角三角形问题，具体可以归纳为以下三种情况： （1）作高，把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形； （2）作高，把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形； （3）连接对角线，把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形。 ( 能力拓展 ) 考法01 解直角三角形 【典例1】如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，，，F是AD边的中点，cm，则BE的长为（          ） A．6cm B．cm C．cm D．8cm 【即学即练】如图，在中，，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AB=6，则AE的值是（       ） A． B． C．3 D．2 【典例2】如图，在中，，，，作等腰三角形ABD，使．，且点C不在射线AD上．过点D作，垂足为E．则的值为（       ）． A． B． C． D． 【即学即练】如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上的一点，且，则tan∠DAC的值为（       ） A． B．2 C． D．3 考法02 解非直角三角形 【典例3】在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 【即学即练】已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　） A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα） C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα） 【典例4】金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　） A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米 【即学即练】某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福土最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头项正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（　　）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60） A．301.3米 B．322.5米 C．350.2米 D．418.5米 考法03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例5】某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37°，建筑物底端的俯角为30°，若A