第01讲 锐角三角函数和特殊角-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第01讲 锐角三角函数和特殊角 ( 目标导航 ) 课程标准 1.理解锐角三角形（正切、正弦、余弦）的意义，会表述正切（正弦、余弦）与梯子倾斜程度的关系。 2.能够运用tanA，sinA和cosA表示直角三角形中两边的比。 3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。 4.知道坡度的意义，并能进行简单的计算。 5.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值。 6．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”。 7.利用特殊角的三角函数值解决简单的问题。 ( 知识精讲 ) 知识点01 锐角的正切 1．正切的定义 如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的 的比便随之确定，这个比叫做的正切值。记作tanA，即tanA=。 2．注意事项 （1）tanA是一个完整的符号，它表示的正切，不能写成。 ①对于用一个大写英文字母或希腊字母，等表示的角，表示正切时习惯省去角的符号“”，如tanA，tan等。 ②对于用三个大写英文字母或阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如tan，tan等。 （2）tanA没有单位，它的值只与的大小有关，与所在的直角三角形的边长无关。 （3）tanA的平方用“”表示，的2倍用“2”表示。 提示： ①锐角A的大小确定之后，它所在的直角三角形的对边与邻边之比也随之确定，即锐角的正切值的大小只与锐角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关。 ②对于锐角A来说，的取值范围是，的值随锐角A的增大而增大。 知识点02 坡度与坡角 1．定义 如图所示，我们通常把坡面的 的比叫做坡度（或坡比），坡度常用字母i表示。把坡面与水平面的夹角称为坡角。 2．两者之间的关系 坡度是坡角的 ，即。 知识点03 锐角的正弦、余弦 1．正弦 如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的 的比便随之确定，这个比叫做的正弦。记作sinA，即sinA=。 2．余弦 如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的 的比便随之确定，这个比叫做的余弦。记作cosA，即cosA=。 注意： (1)正弦、余弦的定义与正切一样，是在直角三角形中对其锐角定义的，它们实质上是两条线段的长度之比，是一个数值，没有单位，其大小与角的大小有关，与所在的直角三角形的三条边长无关。 (2)对于用一个希腊字母或一个大写英文字母表示的角，角的符号“”习惯上省略不写，但对于用三个大写英文字母或一个阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如sinABC，sin1。 (3)sin，cos都是一个完整的符号，不能把sin写成sin，离开了的sin是没有意义的。 (4)sin²A表示sinA·sinA=(sinA)2，不能写成sinA2；cos2A表示cosA·cosA=(cosA)2，不能写成cos A2。 知识点04 锐角三角函数的概念 （1）锐角A的 、 和 都是的三角函数。当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。 （2）同角的正弦、余弦之间的关系（平方关系）：。 （3）同角的正弦、余弦与正切之间的关系（商的关系）：。 （4）互余两角的三角函数之间的关系：锐角A，B，且，则，，。 知识点05 梯子的倾斜程度与三角函数的关系 如图所示，若AB表示倾斜靠墙的梯子，则梯子的倾斜程度与它的倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡。 tan的值 ，梯子越陡； sin的值 ，梯子越陡； cos的值 ，梯子越陡。 知识点06 ，，角的三角函数值 1．图示记忆法 根据正弦、余弦和正切的定义，结合下图，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。 2．表格记忆法 角 sin cos tan 1 提示：锐角三角函数值的增减变化 （1）当角度在~之间变化时，正弦值随角度的增大而增大；余弦值随角度的增大而减小；正切值随角度的增大而增大。 （2）当锐角时，； 当锐角时，； 当锐角时，。 知识点07 特殊角的三角函数值的实际应用 利用三角函数解应用题的一般步骤： （1）根据实际问题，构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型； （2）利用三角函数的定义表示题目中相关的量； （3）找出各个量之间的关系； （4）利用已知量与未知量的关系求出未知量； （5）作答。 ( 能力拓展 ) 考法01 利用锐角三角函数求线段长或面积 【典例1】如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长