专题1.8 角度计算中的经典模型【八大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题1.8 角度计算中的经典模型【八大题型】 【浙教版】 【题型1 双垂直模型】 1 【题型2 A字模型】 7 【题型3 8字模型】 10 【题型4 飞镖模型】 16 【题型5 风筝模型】 23 【题型6 两内角角平分线模型】 29 【题型7 两外角角平分线模型】 35 【题型8 内外角角平分线模型】 39 【知识点1 双垂直模型】 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE 同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证. 【题型1 双垂直模型】 【例1】（2022春•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B． （1）求证：CD⊥AB 证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠A+∠B＝90°（　直角三角形两锐角互余　） 又∵∠ACD＝∠B（已知） ∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换） ∴∠ADC＝90° （　三角形内角和定理　） ∴CD⊥AB． （2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE； （3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36． ①求S△CEF﹣S△ADF的值； ②四边形BDFE的面积是　21　． 【分析】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可； （2）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAE，根据三角形的外角性质计算，证明结论； （3）①根据三角形的面积公式分别求出S△ACD、S△ACE，结合图形计算即可； ②连接BF，设S△ADF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，求出x，把x代入计算得到答案． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余） 又∵∠ACD＝∠B（已知） ∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换） ∴∠ADC＝90° （三角形内角和定理），∴CD⊥AB． 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE， ∴∠AEC＝∠CFE； （3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36， ∴S△ACDS△ABC＝9，S△ACES△ABC＝12， ∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12﹣9＝3； ②连接BF， 设S△ADF＝x，则S△CFE＝3+x， ∵AB＝4AD， ∴S△BDF＝3x， ∵BC＝3CE， ∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6， ∴x+3+2x+6+3x36， 解得，x＝3， ∴四边形BDFE的面积＝3x+2x+6＝21， 故答案为：21． 【变式1-1】（2022春•润州区期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠CAE，再根据等角的余角相等求出∠BEF＝∠AFD，然后根据对顶角相等可得∠BFE＝∠AFD，等量代换即可得解． 【解答】证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵BD⊥AC，∠ABC＝90°， ∴∠BAE+∠BEF＝∠CAE+∠AFD＝90°， ∴∠BEF＝∠AFD， ∵∠BFE＝∠AFD（对顶角相等）， ∴∠BEF＝∠BFE 【变式1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系； （2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？ 【分析】（1）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案； （2）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案． 【解答】解：（1）由∠BHC与∠EHD是对顶角，得 ∠BHC＝∠EHD． 由高BD、CE相交于点H，得 ∠ADH＝∠AEH＝90°． 由四边形内角和定理，得 ∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°， ∠A+∠EHD＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠BHC+∠A＝180°； （2）如图，由∠BHC与∠EHD是对顶角，得 ∠BHC＝∠EHD． 由高BD、CE相交于点H，得 ∠ADH＝∠AEH＝90