专题2.9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题2.9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 【题型1 求幂函数的解析式】 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. (2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式. 【例1】（2021秋•临渭区期末）已知幂函数y＝f（x）的图像过点（2，8），则f（﹣2）的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【解题思路】设所求的幂函数为f（x）＝xa，由幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，8），解得f（x）＝x3，由此能求出f（﹣2）的值． 【解答过程】解：设所求的幂函数为f（x）＝xa， ∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，8）， ∴f（2）＝2a＝8，解得a＝3， ∴f（x）＝x3， ∴f（﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：B． 【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（4）的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．4 【解题思路】设幂函数的解析式为f（x）＝xα，代入点可求α的值，从而可求f（4）的值． 【解答过程】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα， 因为幂函数y＝f（x）的图象过点，所以3α，解得α． 所以f（x），f（4）2． 故选：C． 【变式1-2】（2022春•无锡期末）已知幂函数y＝f（x）的图像过点，则f（16）＝（　　） A． B． C．﹣4 D．4 【解题思路】设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数f（x）的解析式，求出函数值即可． 【解答过程】解：令f（x）＝xα， 将点代入函数的解析式得： 2α，解得α， 故f（x），f（16）， 故选：B． 【变式1-3】（2022春•广陵区校级月考）若幂函数f（x）＝xa的图象经过点，则函数f（x）的解析式是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式． 【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点， ∴2a，解得，∴， 故选：A． 【题型2 幂函数的图象和性质】 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函 数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个 幂函数的图象和性质是解题的关键． 【例2】（2022春•德州期末）幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，则f（3）＝（　　） A．27 B．9 C． D． 【解题思路】根据幂函数的概念及性质，求出实数m的值，得到幂函数的解析式，由此能求出结果． 【解答过程】解：∵幂函数在区间（0，+∞）上单调递增， ∴， 解得m＝2， ∴f（x）＝x3， ∴f（3）＝33＝27． 故选：A． 【变式2-1】（2022春•玉林期末）幂函数（0≤m≤3，m∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是增函数，则m的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．2和3 【解题思路】由题意可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数，结合0≤m≤3，m∈Z，求出m的值． 【解答过程】解：由题意，可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数， ∵0≤m≤3，m∈Z，∴m＝2或3． 故选：D． 【变式2-2】（2021秋•鹿城区