专题1.2 勾股定理 重难点题型12个-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）

专题1.2 勾股定理 重难点题型 题型1.勾股树与面积问题再探究 解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题. 1．（2022·成都市八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答． 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为1， ∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长的平方为，则， 面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长的平方为， 则，…..则S7的值为：，故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质等．能通过计算找出一般性规律是解题关键． 2．（2022·重庆南岸·八年级期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为_____． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3， ∴设，则 根据勾股定理得， ∵ ∴ ∴ ∴图①中正方形面积和为： 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2022·福建福州·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形、、、的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形的面积是___． 【答案】30 【分析】根据勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，从而得到正方形的面积正方形的面积正方形的面积，即可求解． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 同理，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积． 故答案为：30 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 4．（2022·四川成都·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（       ） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．最大正方形与直角三角形的面积和 D．较小两个正方形重叠部分的面积 【答案】D 【分析】根据勾股定理得到，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c， 由勾股定理可得，， 阴影部分面积， 较小两个正方形重叠部分的面积， ∴阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题． 5．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（       ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合 可得S1＋S2＝S3﹣S4，从而可得答案． 【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4， ∴， ， ∴， ， ∵∠ABC＝∠CAD＝90°， ∴ ∴， ∴S1＋S2＝S3﹣S4， ∵S1＝3，S2＝1，S3＝7， ∴3＋1＝7﹣S4， ∴S4＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键． 6．（2022·上饶市广信区第七中学初二期中）已