12.3 角的平分线的性质-【备考无忧】2022-2023学年八年级数学上册同步题型变式突破（人教版）

备考无忧系列备考无忧系列 12.3角的平分线的性质 瞄准目标，牢记要点知识点管理 夯实双基，稳中求进归类探究 题型一：角平分线的性质定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。 几何语言： ∵OP是∠AOB的平分线,P是OP上任意一点, PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是D,C(已知) ∴PD=PC(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 【例题1】（2022·广东揭阳·八年级期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接PQ，当PQ⊥OM时，根据角平分线的性质得出PQ=PA，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论． 【详解】解：连接PQ， 当PQ⊥OM时， ∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON， ∴PQ=PA， 此时点P到OM的距离PQ最小， ∴PA≤PQ， 故选：D． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，直线外一点到直线的距离中，垂线段最短，理解这两个性质定理是解题关键． 变式训练 【变式1-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（            ）           A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果． 【详解】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠DAE， ∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴∠C=∠E=90°， ∵AD=AD， ∴△DAC≌△DAE， ∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确； 无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误； ∵BE+AE=AB，AE=AC， ∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确； ∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B， ∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确． 综上，正确的个数的3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力． 【变式1-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，平分，于点，，，则（       ） A．28 B．21 C．14 D．7 【答案】C 【分析】作于，由角平分线的性质得到，结合三角形面积公式解题． 【详解】解：作于， 平分，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（       ） A．24 B．27 C．32 D．36 【答案】C 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分线的性质得到△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可． 【详解】解：∵AD=DE，S△BDE=96， ∴S△ABD=S△BDE=96， 过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴DG=DF， ∴△ACD与△ABD的高相等， 又∵AB=3AC， ∴S△ACD=S△ABD=． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式1-4】（2020·湖北武汉·八年级期中）如图所示，在△ABD中，∠BAD＝40°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE． (1)求证：点E到DA、DC的距离相等； (2)求∠BED的度数． 【答案】(1)见解析 (2)20° 【分析】（1）过E作EGBA于G点，EPBC于P点，EHAD于H点，根据角平分线的性质定理证得EH=EP=EG即可； （2）设，，根据角平分线的判定与性质和三角形的外角性质得到即可求解． （1）证明：过E作EGBA于G点，EPBC于P点，EHAD于H点，，，，∴AE为的角平分线，，又为的角平分线，EP=EG，∴EH=EP， 点E到DA，DC的距离相等； （2）解：由（1）知，DE平分∠ADC，又BE平分∠ABD，∴设，，，∵∠ADC=∠ABD+∠DAB，，即，而，． 【点睛】本题考查角平分线的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形的外角性质是解答的关键． 【变式1-