第2章 圆与方程（重点突破）-2022-2023学年高二数学上学期章节复习敲重点（苏教版2019选择性必修第一册）

第2章 圆与方程 重点一、圆的方程 【自主梳理】 1、圆的定义 在平面内，到________的距离等于________的点的________叫做圆． 2、确定一个圆最基本的要素是________和________． 3、圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________为圆心，____为半径． 4、圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________________，其中圆心为________________________，半径r＝________________________. 5、确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 6、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2. 【自我检测】 1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆时，m的取值范围为______________． 2、圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是________． 3、点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________． 4、已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________． 5、过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为________． 探究点一　求圆的方程 例1　求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程． 变式迁移1　根据下列条件，求圆的方程． (1)与圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1，)，且半径为4的圆的方程； (2)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程． 探究点二　圆的几何性质的应用 例2　已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径． 变式迁移2　如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y＝x分别相切于C、D两点． (1)求圆M和圆N的方程； (2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 探究点三　与圆有关的最值问题 例3　已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值． 变式迁移3　如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求的最大值与最小值． 重点二、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 【自主梳理】 1、直线与圆的位置关系 位置关系有三种：________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： ①代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac ②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系： d<r⇔________，d＝r⇔________，d>r⇔________. 2、圆的切线方程 若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为______________________． 注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上． 经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________． 3、计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB＝|xA－xB| ＝. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 4、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法： (几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则O1O2>r1＋r2________；O1O2＝r1＋r2________；|r1－r2|<O1O2<r1＋r2________；O1O2＝|r1－r