第17讲 反比例函数的图象与性质—【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第17讲 反比例函数的图象与性质 ( 目标导航 ) 课程标准 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题． ( 知识精讲 ) 知识点01 反比例函数的概念及表达式 概念 一般地，如果两个变量之间的对应关系可以表示成 (为常数，)的形式，那么称是的反比例函数。反比例函数的自变量不能为零。 表达式 或或 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点02 确定反比例函数的关系式 1．用待定系数法确定反比例函数表达式 在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 2．用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤 （1）设：设出含有待定系数的反比例函数的表达式。 （2）列：把已知条件（自变量和函数的对应值）代入表达式，得到关于待定系数的方程。 （3）解：解方程求出待定系数。 （4）写：将求得的待定系数的值代入所设的反比例函数的表达式中，即可得到反比例函数的表达式。 知识点03 反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象特点 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 注意： （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2．画反比例函数的图象的基本步骤 （1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3．反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： 反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 知识点04 反比例函数表达式中的比例系数的几何意义 （1）过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. （2）过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 注意： 只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. ( 能力拓展 ) 考法01 反比例函数的定义 【典例1】下列函数中，是反比例函数的是（        ） A．y=x B．y=-2x+3 C．y=- D．y=- 【即学即练】下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（       ） A． B． C． D． 【典例2】下列说法正确的是(     ) A．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例 B．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例 C．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例 D．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例 【即学即练】已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（       ） 5 … … … … … 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A． B． C． D． 考法02 确定反比例函数的解析式 【典例3】若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（