专题10 相似三角形的判定定理的证明-2022-2023学年九年级数学上册同步知识点学习目标+对点训练(北师大版)

相似三角形的判定定理的证明 学习目标 1. A型与X型 2. 反A型与子母型 3. 射影型 4. “8”字型 5. 一线三等角 目标1：A型与X型 1. 如图，在矩形中，点是的中点，连接交于点，若，则的长度是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据矩形和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：在矩形中，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 故选：． 2. 点在平行四边形的边上，、的延长线交于点，若，则四边形与的面积之比是　　 A． B． C． D． 【分析】由，得，．根据，，，，可得，，从而得到，即可求解． 【解答】解：， ，． 在平行四边形中，，， ，， ，， ． ． 故选：． 3. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连结，分别交，于点、，连结，则下列结论正确的有　　个． ①； ②由点、、、构成的四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的结论是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确； ②先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，得出四边形是菱形，②正确； ④证是的中位线，得，，则，再由，则，④正确； ③连接，由等边三角形的性质和角平分线的性质得到三边的距离相等，则，则，③正确；即可得出结论． 【解答】解：四边形是菱形， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中位线， ，故①正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 、是等边三角形， ，， 平行四边形是菱形，故②正确； ，， 是的中位线， ，， ， ， ，故④正确； 连接，如图： 是等边三角形，平分，平分， 到三边的距离相等， ， ，故③正确； 正确的是①②③④， 故选：． 4. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由四边形是平行四边形，得到，，根据角平分线的定义得到推出是等边三角形，证得，求出，故①正确；由，得到，故②正确，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到，于是得到；故③正确；根据相似三角形的性质得到，求得；故④正确． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， 平分交于点， 是等边三角形， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确， 在中，，， ， ，， ， ，故③正确； ，， ， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 5. 如图，已知，与相交于点． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，求的长． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，则； （2）根据平行线分线段成比例知，结合已知条件求得；同理由推知与间的数量关系，从而求得． 【解答】解：（1），， ． ， ，则， 又， ，则， ，即， ， ，即的长是8； （2）， ． 又，， ． ， ， 又， ， ，即的长是10.5． 目标2：反A型与子母型 6. 如图，在等边三角形中，，，相交于点． （1）求证； （2）求证． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，然后利用证明，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，，从而可得，然后利用两角相等的两个三角形相似证明，再利用相似三角形的性质即可解答． 【解答】证明：（1）是等边三角形， ，， 在和中， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 7. 如图，点、分别在的边及其延长线上，且，． （1）求证：； （2）若，且，求的值． 【分析】（1）通过证明，可得，可得结论； （2）由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解． 【解答】（1）证明：， ， 即， 设， 由， ， ， 又， ， ， 即， ． （2）解：作于点， 设， ， ， 又， ，， 又， ， 由勾股定理得，， 又， ， ， ，， 的值为1或2． 8. 如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据题意利用同角的余角相等，得出，又因为，所以，再根据三角形内角和定理容易求解； （2）由（1）问的角度关系，可求证，可得线段比例关系，进而求证，求得，通过等量代换可求解． 【解答】（1）证明：，，即， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作交于点， 由（1）知，则， ，则， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 解法二：过点作于． ， ， ，， ， ， ． 9. 如图，在中，于，于． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【分析】（1）证明，即可解决问题； （2）结合（1）证明，即可解决问题． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， ． 目标3：射影型 10. 已知，如图，在中，是斜边上的