2.8 直线与圆的综合应用 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬2.8 直线与圆的综合应用 知 识 题 型 类 型 直线与圆的综合应用 定值问题 重点、考点 定点问题 重点、考点 斜率和为零问题 重点、考点 直线与圆的综合应用的一般步骤： 步骤 具体内容 第一步 设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在 第二步 联立直线与圆方程消元化简 第三步 根据韦达定理写出两根之和与两根之积 第四步 根据题中所给的条件，带入韦达定理 考点一 韦达定理的应用 已知圆心在直线上的圆C与直线l：相切于点．例 （1）求和圆C的标准方程； （2）若经过点的直线m与圆C交于，两点，且，求证：为定值． 已知圆M过点且与圆为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C.变 （1）若直线被圆M截得的弦长为，求m的值； （2）设直线与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值. 考点二 韦达定理的直接应用 在平面直角坐标系中，圆过点、、.例1 （1）求圆的方程； （2）是否存在实数a，使得圆与直线交于、两点，且，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 设圆C的圆心在x轴的正半轴上，与y轴相交于点，且直线被圆C截得的弦长为.例2 （1）求圆C的标准方程； （2）设直线与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN的方程；若不能，请说明理由. 在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其中.例3 （1）求点P的轨迹方程C，并说明C表示的曲线； （2）当时，过点作直线 l 与曲线C交于A､B两点.若，求直线l的斜率. 已知圆与圆关于直线对称，且被直线截得的弦长为．例4 （1）求圆的方程； （2）若，为圆上两个不同的点，为坐标原点．设直线，，的斜率分别为，，当时，求的取值范围． 已知直线与圆相交于，不同两点.变1 （1）若，求的值； （2）设是圆上一动点，为坐标原点，若，求点到直线的最大距离． 已知圆：，变2 （1）若过定点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）若过定点且倾斜角为30°的直线与圆相交于，两点，求线段的中点的坐标； （3）问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由. 在平面直角坐标系中，已知圆C的方程为.变3 （1）求实数a的取值范围； （2）当时，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点. （i）若时，求直线l的方程； （ii）若点，分别记直线PM､PN的斜率为，，求的值. 已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点；变4 （1）求的取值范围； （2）若，其中为坐标原点，点的轨迹与的中垂线交于点，求的面积. 考点三 定值问题 已知曲线C的方程是.例1 （1）证明曲线C是一个圆； （2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于､两点，求证：为定值； （3）斜率为1的直线m与圆C相交于D，E两点，求直线m的方程，使的面积最大. 已知、B、C为圆O：（）上三点．例2 （1）若直线BC过点，求面积的最大值； （2）若D为曲线上的动点，且，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且．变1 （1）求圆Q的方程； （2）过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值． 在平面直角坐标系中中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点.变2 （1）求圆C的标准方程； （2）求当满足时对应的直线l的方程； （3）若点，分别记直线PM､直线PN的斜率为，，求证：为定值. 已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍.变3 （1）求点的轨迹方程； （2）设，线段的中点为，求点的轨迹方程； （3）若斜率为的直线与点的轨迹相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且，求直线与轴的交点的坐标. 已知过点的动直线l与圆相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线相交于N．变4 （1）当 PQ=时，求直线l的方程； （2） 是否为定值？如果是，请求定值；若不是请说明理由. 考点四 定点问题 已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.例1 （1）求圆C的标准方程. （2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心的圆截直线所得线段的长度为.例2 （1）求圆O的方程； （2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求t的值； （3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为正常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 平面直角坐标系中，已知圆M