2.7 圆与圆的位置关系 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬2.7 圆与圆的位置关系 知 识 题 型 类 型 圆与圆的位置关系 判断圆与圆的位置关系 重点、考点 两圆的公切线 判断两圆的公切线条数 重点、考点 两圆的公共弦 公共弦的方程 重点、考点 公共弦长 重点、考点 一．圆与圆的位置关系 两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系及其判断方法为： 位置关系 图示 几何法 公切线条数 外离 四条 外切 三条 相交 两条 内切 一条 内含 无 二．两圆的公共弦 1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程. 2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出. 考点一 圆与圆的位置关系的判断 类型一 直线与圆的位置关系（1） 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）例1 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【分析】根据题意，求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，圆，其圆心为，半径； 圆，其圆心，半径， 圆心距，有， 故两圆相交， 故选：． 已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）例2 A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 【分析】根据题意，由圆的方程求出两圆的圆心和半径，求出圆心距，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，圆，其圆心为，半径， ，其圆心为，半径， 两圆的圆心距，两圆外切， 故选：． 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ）变1 A．相离 B．相交 C．内含 D．相切 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【解答】解：的圆心为，半径， 的标准方程为，圆心为，半径， 两圆的圆心距，， 故两圆相交， 故选：． 已知圆，圆，则两圆的位置关系为（ ）变2 A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【解答】解：的圆心为，半径， 的标准方程为，圆心为，半径， 两圆的圆心距，， 故两圆相交， 故选：． 已知，，那么它们的位置关系是（ ）变3 A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解． 【解答】解：， ，圆心，半径， ， ，圆心，半径， ， ， 两圆的位置关系相交． 故选：． 类型二 直线与圆的位置关系（2） 已知两圆．．例1 （1）取何值时两圆外切？ （2）取何值时两圆内切？ 【分析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得的值． （2）由两圆的圆心距 等于两圆的半径之差为，求得的值． 【解答】解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为、， 两圆的圆心距，两圆的半径之和为， 由两圆的半径之和为，可得． （2）由两圆的圆心距 等于两圆的半径之差为， 即，可得 （舍去），或，解得． 已圆，圆，为何值时，变1 （1）圆与圆相外切； （2）圆与圆内含． 【分析】（1）将圆与圆分别化成标准形式，可得它们的圆心坐标和半径长．如果与外切，则两圆的半径之和等于它们圆心间的距离，由此建立关于的方程，解之即可得到的值； （2）若与内含，则两圆的圆心距小于它们半径之差的绝对值，由此建立关于的不等式，即可解出的取值范围． 【解答】解：圆，将圆化成标准方程，得 ，圆心为，半径 同理，的标准方程是：，圆心为，半径（3分） （1）如果圆与圆外切，则，即 平方化简整理，得，解之得或．（7分） （2）如果与内含，则，即， 整理，得，解之得． 综上所述，当或时，与外切；（11分） 当时，与内含．（12分） 已知圆与圆相交，则的取值可能是（ ）例2 A． B． C． D． 【分析】求出两个圆的圆心坐标和半径，利用两个圆的圆心距大于半径差，小于半径和，代入选项的值，验证即可． 【解答】解：是以为圆心，为半径的圆， ， ， 是以为圆心，为半径的圆， 两圆相交，则半径差圆心距离半径和， ， ，恒成立， 而，即， 代入选项中的，不等式成立，代入，，中的，不等式不成立， 故选：． 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（ ）变2 A．14 B．34 C．14或45 D．34或14 【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出，即可得出结论． 【解答】解：圆，即，圆心，半径为1， 圆，即，圆心，半径为， 两个圆有且只有一个公共点， 两个圆内切或外切，圆心距：， 内切时，，解得，外切时，，解得， 故选：． 已知圆，圆，则“”是“两圆内切”的（ ）变3 A．充分必要条件 B．充分不必要条件