2.6 直线与圆的位置关系 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬2.6 直线与圆的位置关系 知 识 题 型 类 型 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系 重点、考点 相切 求切线方程、切线长及其最值问题 重点、考点 相交 求弦长 重点、考点 过定点的最短弦问题 重点、考点 中点弦问题 重点、考点 一．直线与圆的位置关系 位置关系 图示 几何法 代数法 相切 （为圆心到直线的距离） 相交 （为圆心到直线的距离） 相离 （为圆心到直线的距离） 二．相切→求切线方程 过定点作圆的切线，则切线方程为： 与圆的位置关系 切线条数 切线方程（方法） 在圆上 1条 在圆外 2条 【分两种情况讨论】： 1.斜率存在，设为点斜式，再通过或求出斜率即可； 2.斜率不存在. 【说明】：若情况1有一解，则情况2必有一解；若情况1有两解，则情况2必无解. 三．相交→求弦长 弦长公式：直线与圆相交于两点，则（为圆心到直线的距离）. 考点一 直线与圆的位置关系的判断 类型一 直线与圆的位置关系（1） 判断下列直线l与圆C的位置关系：例1 （1），； （2），； （3），． 【答案】(1)相切； (2)相离； (3)相交. 【解析】 【分析】 求出圆C的圆心和半径，再利用点到直线的距离公式计算判断作答. (1) 圆的圆心，半径， 则点到直线的距离， 所以直线l与圆C相切. (2) 圆的圆心，半径， 则点到直线的距离， 所以直线l与圆C相离. (3) 圆的圆心，半径， 则点到直线的距离， 所以直线l与圆C相交. 分别根据下列条件，判断直线l与圆C的位置关系：变1 （1），； （2），； （3），； （4），. 【答案】(1)相交. (2)相切 (3)相离 (4)相切 【解析】 【分析】 分别求出圆心到直线的距离，与半径比较，判断出（1）、（2）、（3）、（4）小题中直线与圆的位置关系. (1) 由，圆可得圆心半径. 圆心到直线的距离d为， 所以直线l与圆C相交. (2) 由，圆可得圆心半径. 圆心到直线的距离d为， 所以直线l与圆C相切. (3) 由，圆可得圆心半径. 圆心到直线的距离d为， 所以直线l与圆C相离. (4) 由，圆可得圆心半径. 圆心到直线的距离d为， 所以直线l与圆C相切. 已知圆的方程x2+y2＝1，直线y＝x+b，当b为何值时：例1 （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点. 【答案】(1) (2)b或b (3)b或b 【解析】 【分析】 求出圆心到直线的距离，根据直线和圆的交点个数转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系进行求解即可. (1) 圆心（0，0）到直线x﹣y+b＝0的距离d.圆的半径R＝1， 若圆与直线有两个公共点， 则d1；即|b|，则. (2) 若圆与直线只有一个公共点， 则d1；即|b|，则b或b.； (3) 若圆与直线没有公共点， 则d1；即|b|，则b或b. 若圆C：x2+y2﹣2x+2y＝2与直线x﹣y+a＝0有公共点，则a的取值范围是（ ）变2 A． B． C． D． 【解题思路】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心到直线的距离小于等于半径列式求解a的取值范围． 【解答过程】解：化圆C的一般方程为标准方程，得（x﹣1）2+（y+1）2＝4， 则圆心坐标为C（1，﹣1），半径r＝2， 若直线与圆C有公共点，则圆心（1，﹣1）到直线的距离小于等于半径， 设圆心（1，﹣1）到直线的距离为d，则， 解得：， 故选：A． 类型二 直线与圆的位置关系（2） 【方法点睛】1.若直线l过定点，并且定点在圆内，则l必与圆相交；2.若直线l过定点，并且定点在圆上，则l必与圆相交相切（有交点）. 已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（ ）例1 A． B． C． D． 【分析】由题意利用点到直线的距离小于半径，求出的范围即可． 【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1， 因为直线与圆相交，所以， 解得，． 故选：． 已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为（ ）例2 A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【分析】由直线系方程可知直线过定点，再说明定点在圆内，可得直线与圆的位置关系． 【解答】解：由直线，得， 可知直线过定点， 化圆为，知圆心，半径为2， ，则在圆内， 直线与圆的位置关系为相交． 故选：． 已知对任意的实数，直线与圆有公共点，则实数的取值范围例3 为（ ） A． B． C． D． 【分析】由题意可知直线过定点，且定点在圆上或圆内，即可求解． 【解答】解：由直线可化为，则直线过定点， 因为直线与圆有公共点， 所以