2.4 圆的方程（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4 圆的方程 · 考纲要求 1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． · 知识解读 知识点①圆的定义及圆的标准方程 1．圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径． 2．圆的标准方程 知识点②点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)． 知识点③圆的一般方程的定义 1．当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为． 2．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点． 3．当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 知识点④常用结论 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上． 3．圆心在任一弦的垂直平分线上． · 题型讲解 题型一、 求圆的标准方程 例1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1　　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　　 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 例2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 例3．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． 例4．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 例5．已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的标准方程． 题型二、点与圆的位置关系的判断 例1．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________． 例2．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________． 例3．已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 题型三、 圆的一般方程 例1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2,3)，3 B．(－2,3)， C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， 例2．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R　　 B．(－∞，1) C．(－∞，1]　　 D．[1，＋∞) 例3．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为(　　) A．1　　 B．2 C．　　 D．4 例4．已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程． 题型四、圆的轨迹问题 例1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 例2．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 例3．如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹． 题型五、 与圆有关的最值问题 例1．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． 例2．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q的坐标为(－2，3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求y－x的最大值和最小值． 例3．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2